Le ultime due si enunciano anche dicendo che b st e D sJ ,- sono sistemi 

 simmetrici. 



Derivando, trascurando i termini in y , y s (e quindi anche %) otte- 

 niamo : 



y$ == b st f + • • ■ ; yJJ' = + D s<f ) Y + • ■ • (e analoghe in g , ...) . 



Per studiare V„ cominciamo dal costruire forme proporzionali a 

 {x , x } , ... , x n , per « = 1,2. Ricordando che x = 1 , // = y co) yy , 

 e analoghe; ricordando che^per (15) le y s , ^ s .... (s= 1 , 2 , ... , n — 1) sono 

 combinazioni lineari di .,. , y n _, , tali determinanti si riconoscono 



proporzionali a -= (y , y, , y, , .„ , y„_, , . Ora è 



d*y = d % y w -\- vd 2 y ■ = Y2(b st + ua s( ) rfw, cto, + • • • 



d*y = d* y™ + v y + 3 d v A* y + • ■ • = Y 2 (D s( , + è s « + ^ sM ) X 



X dw s rfw t - -|-3Yy 2 ^-|-3T2 (& sj -j- va st ) du s rf 2 m ( -j 



dove sono trascurati i termini in y ,y s , e dove d 2 u sono differenziali 

 controvarianti (da me definiti al loc. cit.). Posto <jp 2 0) = 2b gt du s du t e 

 d> (0 > = 2(J sti -{- b sti ) du s du c dui, le forme cercate sono: 



P 2 = (f[ 0) + vlp t ; tf> 3 = <*>3 0> + v 93 + 3 2 (b st + va*) du s ó% + 3^ 2 dv . 



Indicato con ó(p { 2 0) la derivata covariante di <jp 2 0) secondo <p 2 , posto 

 ^g») = 2<2> 3 °> — 3<ty ( 2 °> = 2(2D, ;j — cfe t dui , posto ^ 3 = 2<P — 3dF 2 , 



sarà A 3 = A[ 0) -\- 3(p 2 dv -\- 2vy> 3 . (Le $p 2 0) , g> ( 3 0) sono le forme analoghe per 

 l'ipersuperficie descritta in un S n _i da un punto, per cui y (0) , s (0) ... fossero 

 coordinate omogenee). 



Ze forme F Z ,A 3 si possono considerare come l'elemento lineare pro- 

 iettivo di V„, purché, secondo lo spirito dei nostri metodi, si consideri 

 come identico ad esso un altro elemento lineare del tipo qF 2 , qA 3 -f- F 2 d<r, 

 o come proiettivamente applicabili le ipersuperficie corrispoyidenti. Due 

 ipersuperficie V„ , del tipo qui studiato, che abbiano come elemento li- 

 neare una le forme F 2 ,A 3 , l'altra le forme F 2 ,^ 3 , saranno applicabili 

 se P 2 ed P 2 sono proporzionali, p. es. F* = HF 2 , e se A 3 — HA 3 è divi- 

 sibile per F 2 . Se ne deduce che in particolare <p 2 = H<p 2 , e che <p 3 — H93 

 è divisibile per g> 2 , ossia, essendo g? 3 e y> 3 apolari a <j> 2 , dovrà essere 

 9> 3 = H</> 3 . La varietà VV„_, luogo del punto y , 1 , .... , l'altra' W^_i luogo 

 del punto y',ì' saranno pertanto applicabili; e quindi, escluso il caso 

 banale che esse siano proiettivamente identiche, dovrà per i risultati 

 stessi di questa Nota essere n — ■ 1 =2 , n = 'à. Lo studio delle nostre V n 

 con q = 1 è così ridotto a quello delle solite ipersuperficie W„_! in uno 



