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Analisi. — Sulle equazioni integrali. Nota II di Pia Nalli, 

 presentata dal Socio Pincherle ('). 



9. Supponiamo ora che nessuna delle (ì ( P(s , t) sia nulla. Mi propongo 

 di far vedere come si possono determinare le costanti caratteristiche fi per 

 ognuna delle quali esiste un numero ó >> tale da avere quasi dapertutto 



(13) P(s) + <T</t 2 . 



In seguito faremo vedere come si possono determinare le costanti ca- 

 ratteristiche fi per ognuna delle quali esiste un numero ò > tale da 

 avere quasi dapertutto 



k\s) — è > ,u 2 . 



Tutte queste sono costanti caratteristiche proprie. Determineremo anche le 

 funzioni fondamentali corrispondenti a tali costanti. 



Premettiamo la seguente osservazione. Se una funzione reale F(s , t), 

 sommabile col suo quadrato nel dominio a < s < £ , soddisfa 

 quasi dapertutto alla seguente equazione integrale 



fi F(s , t) = k(s) P(s , t) + f b p(y , s) P(y ,t)dv, 



J a 



con fi costante, si può porre 



00 



F(s ,t) ~ Y [> — k(t)~] ip»(s) xp n (t) , 



dove le formano un sistema ortogonale in (a,b) e formano pure un sistema 

 ortogonale le funzioni (fi — k(s)) t//„(s) moltiplicate per opportune costanti. 



Le tp n {s) potrebbero anche essere in numero finito, e si presenta questo 

 caso quando \k(s) — fi\ si mantiene quasi dapertutto superiore ad una quan- 

 tità positiva fissa. 



10. Fissato r e posto 



u<r>= C C(W(8,t))*d8dt 



J a J a 



sarà, per la (4), 



U<P = P f , t) G<r|i(* , t) ds dt , 



J a J a 



quindi, per l' ineguaglianza di Schwarz, 



( J ) Pervenuta all'Accademia il 24 settembre 1918. 



