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Se poniamo = > ^ a successione delle c% ] è crescente e limi- 



U re— 1 



tata e tende dunque ad un limite c ir) > . 



Si dimostra che se pi è una costante caratteristica propria relativa 

 a K (r) (s , t) e k r (s) si ha fi 2 < c (r) . 



U (r) 



La successione T^yi ® decrescente e tende ad un limite U (r) > . 



G {r) (s t) 



Se poniamo F£ ( (s , t) = ^ (r) ^ w » la successione delle funzioni F<, r) (s , 

 converge in media verso una funzione F (r) (s , t), e si ha 



r6 (F (r> (« - 0)* rfs ^ = U(r) • 



La funzione F (r) (s , non è nulla quasi dapertutto quando, e solamente 

 quando, è U Cr> >0. 

 Dalla relazione 



*< rt PW(# , t) = F^s , <) + Pk«"(i; , s) ■ <) 



si conclude, per la convergenza in media di F ( n r) (s , t) verso F Cr) (s , /) , 

 c (r) F ir) (s , = k tr {s) F lr) (s , + pK <,r> (t> , s) F ( «" 5 (o , t) dv, 



•J a 



quindi se è U <r> > la F (r) (s , ^) , considerata come funzione della sola s, 

 è funzione fondamentale relativa a K <2r> (s , t) e k ir (s). Ed allora si possono 

 dare due casi: o si ha 



(14) f/?» F ( "(s , = £ r («) F ( *->(s , -f f b K (r) (^ , *) F (r) (y , <) 



|/tf (r> essendo presa con segno conveniente (cioè F lr) (s,t), considerata come 

 funzione della sola s, è funzione fondamentale relativa a K (r) (s,£) e A r (s)); 

 ovvero, ponendo 



WP(s ,t) = \ F<"(s , /) + f^(«) F">(s , + 



^ 2 yc lr1 L 



+ £ K< r) (» , s) F (rt (y , ctoj (» = 1 , 2), 



H,(s , t) e H 2 (s,/), considerate come funzioni della sola s, sono fondamen- 

 tali relativamente a K (r) (s , t) e A r (s), e corrispondono rispettivamente alle 

 costanti +f/V r> e —\1F > . 



