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Nel primo caso si trova che F (r) (s , t) soddisfa alla seguente equazione 

 integrale 



Di qui si trae (v. n. precedente) 



V~C^ F ( '\S , t) ~ J [V^ - VnW <M0 . 



dove le ^>„(s) formano un sistema ortogonale e formano pure un sistema 

 ortogonale le funzioni <p r .(s) = A n (|/ c ir) — k r (s)) ip n (s) , le X n essendo con- 

 venienti costanti. 



Ciascuna delle funzioni tf> n {s) è fondamentale relativamente a K (r) (s,if) 



e k r (s) e corrisponde alla costante \l <? (r) . Inoltre, essendo f <p*(s) t/s = 1 , 



i^ n (s) è funzione fondamentale propria. 



Se <p(s) è una funzione fondamentale relativa a K (r) (s , t) e k r (s), cor- 

 rispondente alla costante ]/ c ir) , si ha 



(|/^> — A r (s)) sp(«) = \/^ f F<"(* , s) g>(t) dt , 



ossia 



(15) (j/^ — k r (s)) <p(s) ~ — k r (s)) f f n (s) f 5P(s) <te . 



Nel secondo caso si trova che Hi r) (s , /) e Wp(s , t) soddisfano alle se- 

 guenti equazioni 



(—1)- 1 j V" E?\s , t) = k r (s) BSp{s , t) 



_f_ (_ t)*-i |/^> f V r) (» , s) EP(v , rfy (» = 1 , 2) , 



J a 



e si trova così 



(_!)»-! j/^> HP(s , <) - 1. [(- 1)*" 1 - k«\t)\ ip%(s) yj%(t) , 



dove le t/^(s) formano un sistema ortogonale, come lo formano pure le fun- 

 zioni ((— l) i_1 f/c Cr) — k r {s)^ ìp ( ^(s) moltiplicate per convenienti costanti. 



Le ifj ( n\s) sono funzioni fondamentali proprie relative a K ir) (s , t) e 

 k r (s) e corrispondono alla costante ( — l) J-1 |/c <r> . 



Se (p a \s) è una funzione fondamentale corrispondente alla costante 

 si ha 



((— l)'- 1 j/^ — k r {s)) (p u \s) = (— 1)*'-' tfc™ pHfV . «) dt , 



