ossia 



(16) ( y ( — \ f-i\/7 ?l — k r {s)) (p U) (s) ~((— 1}*-' Vc^"— k r (s))x 



X f ip ( ?(s) r*l>%(s) g>(s) ds . 



n=\ J a 



Si ha poi 



CrP(v ,s)E ( t\v .t) dv = 0. 



J a 



11. Si può dimostrare che se per qualche r dispari si ha U Cr) > 0, 

 sarà U tr) >0 per qualuaque altro r dispari e c ir) = (6- (I) ) r . Se per qualche 



r 



r pari si ha U Cr) >0 sarà U (r) >0 per qualunque altro r pari e <? Cr) = (c (2) )i". 

 Se è U (1> ^>0 si avrà per qualunque r dispari 



se è soddisfatta la (14) con r=l. 

 Quando ciò non succede si ha 



m.,o-m..o|( ( _ 1 ^ > i/?i , )- 



Sempre nell'ipotesi U (1) >0, se r è pari ed è c (r) = (c il) ) r varrà an- 

 cora la (17) se è soddisfatta la (14) con r — 1, altrimenti per r pari sarà 



"-e . o -w. . <t(P) m + Hi " (s • i) U~M ■ 



Se è U (2) >>0, per qualunque r pan è soddisfatta la (14) con J/V r) >0 

 e sarà per r pari 



Risulta di qui che è sufficiente limitarsi a considerare i casi in cui è 

 U (1) >0 o U (2) >0. 



Si hanno relativamente a ciò alcune notevoli proposizioni. 



Se è quasi dapertutto k*{s) -\- £ <C c (1 \ con £\>Q, si ha U (1> >0, 

 U (2) >0,c (t) = (c cl) ) 1 . 



Riunendo questo con quanto si è trovato al n. precedente possiamo 

 dire che: condizione necessaria e sufficiente perchè esistano funzioni fon- 

 damentali relative a K(s , t) e k(s) le cui corrispondenti costanti carat- 

 teristiche fi soddisfino alla (13) è che esista un numero positivo e tale 

 che sia quasi dapertutto k*(s) -f- e < c il> . 



