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Quando è soddisfatta quest' ultima condizione |=t|/c (1) — k(s)\ si man- 

 tiene quasi dapertutto superiore ad una quantità positiva fissa e le xfJ n {s) 

 o le V^'(s), a seconda dei casi, sono in numero finito: le (15) e (16) ci 

 danno, secondo i casi, 



m rb 



(p(s) = Y xp n {s) | tp n (s) g>(s) ds , 



t rb 

 9 <i\ s ) = y ttff>( s ) fW{s) g> aì (s) ds 



Si ha U (1) ]> se per m sufficientemente grande 



pò 



f f b k\8)(G m -i{s,t))* ds 



dt 



si mantiene superiore ad una quantità fissa maggiore di 1 . 



Questa condizione è soddisfatta se è soddisfatta quella del primo teorema. 

 Essendo poi 



( b \ b [k(s) K(s , t) + K 2 (s , t)J ds dt 



M ' a ' a 



6 2 — Cb rb 



\ K 2 (s . t) ds dt 



dove poniamo K 2 (s , t) = I K(s , v) K(t , v) dv , ne viene che si può deter- 



minare * ^> in modo che, quando è quasi dapertutto \k(s)\ < f, si abbia 

 4' > ^ >€2 ' quindi, essendo c (1) > 4' j sarà £ u, >£ 2 , ed è soddisfatta la con- 

 dizione del primo teorema. 



Possiamo quindi dire che; data la funzione K{s,t) (soddisfacente alle 

 condizioni poste nella Nota I) si può determinare un numero « > in 

 modo che, qualunque sia la funzione k(s) soddisfacente quasi dapertutto 

 alla condizione \ k(s) | < « , esiste almeno una funzione fondamentale pro- 

 pria relativa al nucleo K (M) (s , /) ed alla funzione k"(s) (» = 1 , 2 , ...). 

 Per k(s) — si ritrova un noto teorema dato da Hilbert e Schmidt. 



Siccome poi ogni funzione fondamentale relativa a K(s , t) e k(s) lo è 

 anche relativamente a K(s , t) e k(s)-{-h, con h costante, e viceversa, si 

 può dare una forma più generale al teorema precedente, sostituendo all'espres- 

 sione: « qualunque sia la funzione k(s) soddisfacente quasi dapertutto 

 alla condizione \k(s) \ < s » la seguente: « qualunque sia la funzione k(s) 

 per la quale si possa determinare una costante h in modo che sia quasi 

 dapertutto \ k(s) -J- h | < s » . 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2* Sem. 22 



