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dizione che il poliedro debba essere circoscrivibile ad una sfera, ad indivi- 

 duare il poliedro medesimo col centro della sfera iscritta e a fornire per- 

 tanto, con calcoli più o meno semplici, tutti gli elementi per la rappresen- 

 tazione sferica delle configurazioni stellari. 



Dette infatti Xi,yi,t\ ; x t ,yt,Zt ; ... x v ,y v ,z v le coordinate ri- 

 spetto ad un qualunque sistema ortogonale dei v vertici del poliedro, abbiamo, 

 detto s il numero degli spigoli, anzitutto il sistema di $ equazioni: 



(1) 



(x p — x q f + (y p — y,)* + (g p — s q ) 1 = l 

 (P > 1 ; V . <1 = 1 i 2 » 3 , • • • v) . 



2 



Detto inoltre f il numero delle facce e n x il numero dei vertici gia- 

 centi nella faccia i esima , abbiamo m — 3 condizioni del tipo : 



(2) 



x U i yi,i z ui 1 



Xt,ì y^,x 2t,ì 1 



Xt,i yzj Zz,i 1 



&r,i yr,i Zr,i 1 



che possiamo chiamare di complanarità, in quanto che esprimono che uno 

 qualunque x r j , y r j , z r ,ì dei vertici della faccia i esima giace nel piano deter- 

 minato da tre altri dati. 



A tali equazioni fra le coordinate dei vertici vanno aggiunte altre sei 

 — arbitrarie purché non contràdittorie colle (1) e (2) — atte a fissare la 

 posizione del poliedro nello spazio. Possiamo, p. es., far coincidere un ver- 

 tice coll'origine delle coordinate, porre un altro vertice contiguo al primo 

 sull'asse delle x e un terzo nel piano xy di modo che sia: 



(3) X\ — «/i = *i = yz — s 2 — s s = . 



Dobbiamo infine introdurre la condizione che il poliedro sia circoscrivi- 

 bile ad una sfera: ciò si traduce in altre equazioni in numero di f — l 

 fra le 3 v coordinate dei vertici e le 3 coordinate £ , rj , £ del centro della 

 sfera, equazioni le quali esprimono che la distanza fra § , i\ , f e il piano 

 di una faccia è uguale a quella dello stesso punto dalle altre / — 1 facce. 



Numerate le facce del poliedro secondo un ordine arbitrario e dette in 

 generale xìj , y^ , gtj le coordinate dell' i esim ° vertice della faccia /, le equa- 

 zioni dei piani delle facce le/, saranno, rispettivamente 



OC ii 

 Xt,i 

 #3,1 



X 



2/3,1 



Y 



«3,1 



z 



X 



Y 



z 



o, più concisamente, D,(X , Y , Z) = , D,(X , Y , Z) = . 



