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La condizione di circoscrivibilità del poliedro ad una sfera si esprime 

 colle /' — 1 equazioni: 



)/IjD 1 = zizyl l Dj t (; = 2, 3, .../) 



dove Ax , A,- hanno il noto significato (somme dei quadrati dei coefficienti di 

 X , Y , Z , rispettivamente in D L e D,- , coefficienti che, nel nostro caso, sono 

 i complementi algebrici di X , Y , Z nei due determinanti). Le quantità 

 X y , lj rappresentano perciò rispettivamente, secondo note formolo di geo- 

 metria analitica, 4S? e 4SJ quando con Sx ed S,- si indichino le aree dei 

 triangoli formati dai punti che individuano i due piani. L'equazione ultima, 

 dopo l'elevazione a quadrato, necessaria per far sparire le irrazionalità nelle 

 incognite, e dopo aver sostituito ad X , Y , Z le coordinate del centro della 

 sfera, diventa: 



(4) = MI* • 



Abbiamo pertanto fra le 3 (v -f- 1) incognite un numero N di equazioni 

 uguale a 



s+2>i-3) + 6 + (/-I), 



;=/ 



donde, poiché è evidentemente per ogni poliedro y_ = 2$ essendo ogni 



i=ì 



spigolo contato due volte nella somma, 



N = 3(s-/) + 5.+ / 



e quindi, introducendo la relazione di Eulero, valida per ogni poliedro 



convesso, 



v + f=s + 2, 



abbiamo intìne: 



N = 3 (v — 2) 5 = 3 t + f— 1 . 



La differenza fra il numero delle equazioni e quello delle incognite è 



così 



3 ti + / — 1 — 3 ( v + 1 ) = f — 4 

 ed è necessariamente positiva o al minimo nulla (tetraedro) ('). 



(*) Particolarmente interessante, almeno dal punto di vista teorico, è questo caso 

 di minimo nel quale le equazioni di condizione si possono suddividere in due gruppi 

 risolubili separatamente: il primo di dodici, cioè sei oltre le (3), sufficienti ad indivi- 

 duare in posizione e forma il poliedro ed altre f— 1, cioè tre, per determinare le coor- 

 dinate f , r] , ? del centro. Senza soffermarci in calcoli elementarissimi e senza occuparci 

 qui delle difficoltà tecniche e strumentali — forse non insormontabili — inerenti alla 

 applicazione pratica del metodo nel caso /'=4, è bene rilevate esplicitamente come 

 buttino quattro lastre, purché comprendenti nel loro insieme V intera sfera celeste, per 

 ottenere la soluzione autonoma del problema delVastrometria fotografica. 



