Le condizioni introdotte sono quindi in generale sovrabbondanti. Perchè 

 le equazioni del nostro sistema, costituite dalle (1), (2), (3) e (4), siano 

 compatibili bisogna che fra i coefficienti delle dette equazioni, ovvero, ciò 

 che torna lo stesso, fra le costanti l p , q , siano verificate f — 4 condizioni : 

 questo certamente accade quando i valori delle l Pìq siano quelli dedotti dalla 

 misura delle lastre secondo il procedimento che passeremo in seguito ad 

 indicare; poiché noi conosciamo di fatto la effettiva esistenza del poliedro 

 di cui ci proponiamo di calcolare gli elementi metrici, poliedro che è quello 

 costituito dai piani tangenti in punti di una sfera, distinti sebbene non 

 ancora determinati. 



Nel caso generale, quando cioè fra le i Ihq non esistono altre particolari 

 relazioni numeriche, sappiamo dalla teoria generale della eliminazione che 

 la soluzione generale, quando esiste, è unica. È bene tuttavia chiarire il 

 senso in cui bisogna qui intendere questa unicità. Le equazioni (1), (2), (3) 

 e (4), che formano complessivamente il nostro sistema, rimangono tutte iden- 

 ticamente verificate, quando alle x , £ ovvero alle y , rj o alle «,f o anche 

 a più gruppi di coordinate insieme si cambi il segno. In altri termini se 

 il sistema ammette la soluzione 



Xi = ai , y t = bi , Sì=Cì j 23) 



£ — a ij =0 £ = Y 



dovrà evidentemente anche ammettere tutte le 2 3 = 8 soluzioni che si otten- 

 gono da 



Xi — dì , i/i — bi , Zi — Ri- 

 prendendo nei tre gruppi di coordinate tutte le possibili combinazioni di 

 segni. Si hanno così otto poliedri che si trasformano l'uno nell'altro con una 

 o più simmetrie ortogonali rispetto ai piani coordinati. Possono anche dedursi 

 tutti da due fra essi, perchè l'operazione di cambiare il segno ad uno o più 

 gruppi di coordinate equivale ad una trasformazione di coordinate nella 

 quale non cambia nè l'origine nè la direzione degli assi, ma solo il verso. 



Le figure corrispondenti sono perciò congruenti o sovrapponibili quando 

 il seno del triedro delle direzioni positive dei nuovi assi (modulo della 

 trasformazione) è eguale a -f- 1 . ovvero in simmetria ortogonale rispetto ad 

 uno dei piani coordinati quando il detto modulo è eguale a — 1 . Si hanno 

 così due gruppi di quattro poliedri ciascuno, essendo congruenti i poliedri 

 di ciascun gruppo. Non abbiamo così, in sostanza, che due soluzioni diverse 

 delle quali si può subito scegliere quella conveniente al problema notando 

 che, fissato un certo ordine di percorrenza del perimetro di una data faccia 

 relativo ad una certa successione dei vertici, il corrispondente movimento 

 dovrà apparire compiersi nello stesso senso ad un osservatore situato al 

 centro del poliedro trovato e ad un altro che guardi la data lastra dal lato 

 innanzi definito (opposto allo strato sensibile). 



