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classe (a) abbia per radice lo zero o la base, può accadere soltanto per 

 valori particolari della base, i quali si diranno valori speciali o critici. 



È evidente che l'uguaglianza di due delle espressioni (§) equivale alla 

 presenza di una radice doppia per la (a). 



Se due equazioni (a), di grado diverso, hanno una radice comune x , 

 la base è speciale: infatti da 



<* n {x) = , a m (x) = , (n > m) 



segue 



«n-m(uJj®)) = «n-m(O) = . 



Osservando che è 

 (e) ^j^- = 2 n x a^x) a 2 (x) ... a n ^(x) , 



si conferma che se la (a) ha una radice multipla x , per questa, annullan- 

 dosi la derivata, sarà a m (%) = per un m <C n , e quindi, essendovi una 

 radice comune a due equazioni (a) di indice diverso, la base sarà speciale ('). 



5. I valori speciali della base soddisfano dunque ad equazioni della 

 forma 



(?) a m (u;u) = 0, (m = , 1 , 2 , ...) 



cioè alle 



( u = , — u = , (u* — uf — u = , 

 ( ' ( ({u t — u) 2 — u) i — u = 0,... 



Poiché la base è positiva, l'insieme dei suoi valori speciali è dunque 

 costituito dal sistema delle radici positive delle (?). A questo sistema ap- 

 partiene il valore u — 1 , radice di tutte le (?) d' indice dispari. Le radici 

 delle (?) godono di interessanti proprietà, dalle quali però possiamo qui pre- 

 scindere, e che si deducono senza difficoltà dalla relazione ricorrente 



2 



dm 1 % • 



Ci conviene solo di notare che ogni radice u della (?) soddisfa ad una 

 uguaglianza della forma 



(??) rt j/ u =t Vu rfc • • • zzz \ u = u , 



con m radicali; ad ognuna delle radici corrisponde una diversa disposizione 

 dei segni. 



6. Consideriamo dapprima l'uguaglianza (rj) in cui siano tutti i segni 

 positivi : 



(0) -\/ u + \ f u -\ [.yu = u; 



% 



(!) V. Nota B, n. 8. 



