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questa, poiché m sono i radicali, può scriversi secondo la notazione (cT) 

 del n. 2: 



(0') (m\u) = u. 



In (0), il primo membro è* maggiore di u per u < 1 , è minore di u 

 per m>2 ('); è facile inoltre di dimostrare che (m;u) — u è funzione 

 decrescente di u; ne viene dunque che la (8) ha un'unica soluzione posi- 

 tiva, che indicherò con s m , e che per m > 1 è compresa fra 1 e 2. 



Essendo (n ;u)^>(m;u) per n > m , sarà (n ; s w ) ^> 3 da cui si 

 deduce s n ^>s m ; ed infatti, si ha 



(n;u)^>u fper u<^s n , (k ; m)< « per u^> s„ . 



Le s w formano dunque una successione crescente. È s = , Si = 1 , 

 «ì = 1,754 ... , ecc. 



Le s„ essendo^ crescenti ed inferiori a 2, esse tendono ad un limite 

 — loro limite superiore — che dico essere uguale a 2 . Infatti, se questo 

 |limite S fosse minore di 2, si avrebbe 



(r ; u) < u 



| per r arbitrariamente grande, se u è un valore compreso fra S e 2. D'altra 

 fparte, essendo 



lim (r ; u) = j (l -f- j/l + 4w)] 



r=oo 



che è maggiore di u per ogni u inferiore a 2 ( 2 ), si può prendere r abba- 

 stanza grande perchè sia (r;u)^>u: vi è dunque contraddizione nel sup- 

 porre S <C 2. La successione delle s m tende dunque al limite 2. 



Fra le radici delle (£), la s m è la massima positiva; infatti, per ogni 

 u ^> s m è (m;u)<^u, e quindi « fortiori è minore di w ogni espressione 



:"f/ft zt V« ir •"• ■ formata da m radicali che, a differenza di (m ; u), non 

 siano tutti positivi. 



7. Veniamo ora a studiare la (rj) nel caso in cui non tutti i segni 

 siano positivi. Tale sarà però il primo segno; il primo membro verrà dunque 

 a scriversi f = (ri , r 2 , ... r q ; u) che indicherò talvolta brevemente anche 

 con f{u). La catena secondaria (ri, r i+l , ... r q ) si indicherà con cosicché 



Paragonando le cifre successive di f e di /i, sia 



(') V. Nota A, n. 3. 

 ( 2 ) V. Nota A, n. 3. 



