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dove k è >.l. Allora, se A è dispari ed ]> » per ogni valore w 

 che rende ed f reali, è generalmente f^> fi e così è pure se k è pari 

 ed r ft <C n+ft-i • Se invece è k dispari ed r h <^ Tì+k-x , oppure k pari ed 

 fk ]> ^i+is-i > sarà f<Cfi. Questo fatto si esprimerà dicendo che la catena /" 

 è rispettivamente maggiore o minore della sua secondaria fa. Si è detto 

 * generalmente » perchè per qualche valore speciale di u può essere /'= f; 

 quando sia 



(*) /=(ri, r, , ... n- x , r lt r t , ... r*_, — 1) 



ed & sia soluzione di fi{u) = u, si avrà f(u) = u: ma per ogni altro va- 

 lore di « che renda le catene reali, è f^>fi se è e — 1 dispari, f<Cfi 

 se è i — 1 pari, e si potrà usare in corrispondenza la denominazione di 

 maggiore e minore nel confronto fra f ed /*. 



ci f 



8. Si noti che nel caso della (t), è ~ = =£ oo per u = u, ed un esame 



du 



di carattere elementare mostra facilmente che vale il segno -j- se z — 1 è 



dispari, il segno — se i — 1 è pari. Onde per u > u e sufficientemente 



df 



prossimo, è -~^> 1 nel caso di /">/<, e quindi f(u) — u è, in quelle 



condizioni, funzione crescente di u . 



9. Possiamo ora cercare la condizione sotto la quale un'equazione 



(x) f{u) = u, con f— (r, , r 2 , ... r q ) 



ha soluzione reale (positiva). Si noti che per u maggiore della soluzione (se 

 è unica, e della massima se eventualmente ve ne fosse più d'una), è f(u)<^u. 

 La condizione in discorso è data dal seguente 



Teorema. — « Perchè la (x) abbia soluzione reale, che non sia solu- 

 « zione di una fi = u , occorre e basta che sia /> fi per i — 2 , 3 , ...q » . 

 a) Intanto, il teorema è vero nel caso di q = 2 . 



Se infatti è (r, , r 2 ) ^> (r 2 ), ne consegue necessariamente r, > r 2 . Sia 

 fi — 1 > r 2 ; è s ri _, > s ra , onde /"(sr.-t) > f(s r , 2 ) > (r 2 ; s r J = s r . 2 , onde 

 perM = s r| _! è f{u)^>u; ma poiché si ha (r, , r 2 ) < ri , è f<iu per 

 m >.Sr, ; onde la (x) ha soluzione reale compresa fra s r ,-i ed s r , . Sia invece 

 r x — l = r 2 ; si è nel caso considerato al n. 7, con ù = s ra ; per w > s,., e 

 sufficientemente prossimo, è f(u) — u crescente onde, essendo f(u) = u per 

 u = s ri , è f(u)^>u per u'^> s r „ e abbastanza prossimo ; è invece f(u)<Cu 

 per w = , onde vi è una radice di (x) , anche in questo caso, fra 5 r ,_i 

 ed s r , . 



Se invece è (r t , r 2 ) < (r 2 ) , il che richiede r, < 7" 2 , / non è reale 

 per u<Csr 2 , come del resto nel caso precedente, ma per u > s r3 è (rj ,r 2 )< 

 <!(r 2 )<[w, e quindi f(u) — u è costantemente negativo: la (x) non ha 

 soluzione. Per n = 2 la proposizione è dunque verificata. 



