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b) Si supponga il teorema dimostrato per le catene di q — 1 cifre; 

 dico che esso vale per le catene di q cifre f — (ri ,Vg , . . . r q ). Fra le 

 f t = (r 4 , r< +L , ... r q ) , sia /* la massima catena; fn = u ammette dunque 

 soluzione, e sia essa e, con f*<Cu per >• or. Per m < <r, le /Vi , , 

 ... / 2 , /' sono non reali. Ora, sia /">/?,. Ne viene /(e) i> = o" , ed 

 eccezionalmente (caso del n. 7), f(<r) = a. Nel caso generale è dunque 

 f^>u per u = a , f <^u per u = s Tl , onde / = « ha radice fra e ed s rt . 



Nel caso eccezionale, per essere f^>fn, è (n. 8) -— = -\-<x> per u==a e 



7 /» 



quindi — 1 > 0, cioè / — ^ crescente per valori di u maggiori di a ed 



abbastanza prossimi a e, ondè f^>u per questi valori, mentre è /<w per 

 m i> s r , ; vi è dunque una radice di f—u fra e ed s r , . Questo caso ecce- 

 zionale è quello in cui la (x) ha più di una soluzione reale, ma ve n'ha 

 una sola che non appartiene ad una f = u(i~^> 1). 



Sia invece f<Cfn- Si ha f(a) < fi,(<r) = o - , e, per u^><f, è /(«)•< 

 < CA(^) < C M: ^ a f =u n o n ha dunque in generale soluzione reale, ed ecce- 

 zionalmente può avere la soluzione cr, appartenente pure alle /Ìj = k. Il 

 teorema è così dimostrato. 



Si noti che la può venire soddisfatta se, e solo se è f^> fi, 



(ì = 2,S,..,q). 



10. Dal teorema precedente è facile di dedurre la condizione sotto cui 

 la f = (ri , r 2 , ... r q ; u) è reale. Intanto, lo è per ogni u > 2 . Nel caso 

 u <! 2, fra le secondarie A , f z , ... / 9 , cerchiamo la massima, e sia Per 

 essere massima, le è applicabile la proposizione del n. 9, e quindi vi è un 

 valore er ft tale che per u <^<r h è fa non reale o i> u, per v = c ft è f h = u, 

 e per m >> tf ft è f k <C u . Ne viene che /' non è reale per a<ff|,, mentre invece, 

 per u~^>o h essendo, in conseguenza di fa<C.u, anche fi<Cu per ogni in- 

 dice i da 2 a £ , la f è reale. Il limite di realtà ? per la cioè un nu- 

 mero f tale che f sia reale per u >. £ e non reale per « < £ , è il numero <r ft 

 relativo alla catena secondaria massima /i , numero che è radice di fk = u 

 ma non radice di fi = u per i i> h . 



11. Con ciò' si è in grado di rispondere alla domanda enunciata al n. 1 

 come scopo della presente Nota. « Per riconoscere se la (/S), radice dell'equa- 

 « zione («), sia o no reale, essendo nota la disposizione, in (/S), dei segni 

 « -j- e — , si scriverà codesta radice nella forma 



(r ì . ri , ... r q ; a) , (r, -j- r 2 -| \-r q = n), 



« indi, dall'esame delle cifre, si riscontrerà quale sia la massima fra le 

 « catene secondarie 



A = (r, , r :ì , ... r q ) , /' 3 = (r 3 , ... r 9 ) , ... f q = (r 9 ) : 



