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con d(t (elemento lineare binario) ed A indipendenti da x 3 . Si arriva ad 

 espressioni di carattere invariantivo rispetto al d<f , la cui utilità si farà 

 manifesta nelle Note successive. 



1. — Trasformazione conforme e suoi effetti 

 sulla derivazione covariante. 



Sia 



n 



(1) ds 2 = y (Zi* dxi dx H 



i ih 



il quadrato di un elemento lineare in quante si vogliono variabili; 



(2) ds' 2 = e 2T ds 2 . 



Usando i soliti simboli per la metrica (1), designeremo con omologhi 

 simboli accentati tutto ciò (coefficienti, coefficienti della forma reciproca, 

 simboli di Christoffel e di Riemann, derivate covarianti, ecc.) che si riferisce 

 alla metrica conforme (2). Così saranno 



a'ik = e 2T aat 



i coefficienti del ds' 2 ; 



a nm = e~ 2r a Uk) 

 i coefficienti della forma reciproca; 



aik ' j = * \lxn~ ^7 ~~ ~^x ) = ^ Th ttij Ti ajH ~ Tjain ' 

 i simboli di Christoffel di prima specie; 



(3) j ■ * |'= %. a ' lhj) a *J = | % l J + ** + "hk «i - a ik 



(i, k ,j , h = l i 2 , ... , n) 



quelli di seconda specie spettanti ad esso ds' 2 . Ben si intende che con r, 

 intendiamo le derivate (ordinarie, o, ciò che è lo stesso, covarianti) della 



n 



funzione r ; con % m = Y a ihj) Tj gli elementi reciproci rispetto alla forma (1); 



i ì 



infine con s ih lo zero o l' unità secondochè i due indici sono distinti o 

 coincidono. 



Ciò premesso, sia X,- un generico sistema semplice covariante. Se si 

 assume come forma fondamentale la (2), si ha, per derivazione covariante, 

 il sistema doppio 



(y v ^* v r ^ ì y 



