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Siccome poi ix x , [x 2 , ... sono costanti caratteristiche proprie relative a 

 K(s , t) e k(s), si avrà per qualunque n fJt% < ne viene che per qua- 



00 



lunque r la serie T" .w^ -1 r n (s , z) converge in media verso una funzione 



C r {s,t). 



Poniamo 



<23) D^s, = K(s,0— 0,(*,<) 



e formiamo le iterate di D ; (s,tf), considerata come funzione di s, relativa- 

 mente a K(s , t) e /:(s) , iterate che denotiamo con D 2 (s , t) , D 3 (s , t) , ... 

 poniamo cioè 



D n (s , = B n -i{s ,'t)+ C K(s , e) D„_i(o , <) («==2,3, ...) . 



° 



Si possono dimostrare le seguenti relazioni 



D W (S , /) = G<"(s , — C tt (5 , t) 



(24) D,,. + .,(s , = k(s) D^-^s , t) -f- Pd^w , <) D v (y ,s)dv, 



quest'ultima analoga alla (9) della Nota I. 



Da questa si "trae che se qualcuna delle D„(s,/) è nulla si ha D,(s,() = 

 o D 2 (s,tf) = 0. Nel primo caso, siccome per la (22) si può porre 



r n {s , t) ~ £ |>„— *(<)] > 



le formando, al variare di m ed un sistema ortogonale, essendo 



CD 



K(s , t) ~ ^_ r n (s , f) , possiamo dire che K(s , £) rientra nella forma (11) 



re— 1 



della Nota I. 



Nel secondo caso, da 



*(*) D,(s , + P Di(y , s) D,(y , cfo = 



si trae 



D,(s,/) X h(t) <p m {s) tp m (t), 



le (f m (s) e le i/^>(s), quando si facciano variare m ed n, formano un sistema 

 ortogonale. 



PO 



Essendo K(s , t) ~ Y /"„(« , -f- D,(s , £) , K(s , £) rientra ancora nella 

 forma (11). 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° sera. 26 



