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13. Se nessuna delle D„(s , t) è identicamente nulla, posto 



si ha, per la (4), 



V„ = f 6 Cd*(s , t) ds di 



V n = f f D M _!(s , D n+1 (s , t) ds di 



V 



e di qui V 2 < V„_i V„ +1 . Ponendo d„ = =r— la successione delle d n , li- 



» «— i 



rnitata e crescente, per n = co tende ad un limite , e si ha poi lim — = 



»=CO W 



= V > 0. La successione delle funzioni ^ 2 "^ 1 - converge in mediaf verso j 



rb rb 'T^S 

 una funzione D(s , t) per la quale si ha I D 2 (s , t) ds di = Y , quindi 



se è V > , D(s , non è nulla e inversamente. 



Dalla (24) si trae che è V > se è quasi dapertutto k 2 (s) -\- S <^d 

 con ó > . 



Supposto V^>0, la D(s,i!), considerata come funzione di s, è fonda- 

 mentale relativamente a K (2) (s , ^) e k 2 (s), cioè si ha 



D(s , = £ 2 (s) D(s , + f 6 K (2> (s , ») D(» , *) <to , 



ed allora si possono dare due casi: in un primo caso si ha 



(25) \ld D(s , t) = k{s) V(s , t) + P K(s , y) D(» , <) rf« , 



la radice di d essendo presa con segno conveniente, ed allora è 



\/~d D(s , t) = k{s) D(s , t) + \U pD( y , s) D(y ,*)<&>. 

 Si potrà porre allora 



j/d D(s , t) ~ Y — jp«(«) , 



le (fn,(s) formando un sistema ortogonale ed essendo funzioni fondamentali 

 proprie relative a K(s , /) e k(s), corrispondenti alla costante \/d. Inoltre 

 si ha per qualunque n, 



f"r n (v,s) D(v, t)dv = 



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