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e cioè 



f <p ( r\s) g> m (s) ds = , 



qualunque sieno r , n ed m . 



In un secondo caso la (25) non è soddisfatta, ed allora, ponendo 



Mi(s , t) = l D{s , t) + \~ k (s) D(s , t) + [\{v , s) D(y , tfy 



A 2yd L ^« 



(e = 1,2) 



si avrà 



(— l)*" 1 j/d Mi(s , t) = k(s) Mi(s , t) + (— If- 1 fd Cmì(v , s) M,(y , t) dv 



•J a 



e si potrà porre 



(- 1)- 1 fd M,(« , ~ [(- l)^ 1 Vd—k(t)~j 9 $(8) , 



le <jp$(s) formando un sistema ortogonale ed essendo funzioni fondamentali 

 proprie relative a K(s ,t) e #(s), corrispondenti alla costante ( — 1)' _1 fd. 



Inoltre si ha f Mj(y , s) M 2 (y , t) dv = 0, e per qualunque n , 



> a 



f r n (y , s) M,(y , dy = , cioè f V^s) 9>S?(«) ds = 



qualunque sieno r , n ed m . 



Si dimostra che se ^(s) è una funzione fondamentale propria relativa 



f' b 



alla costante ,« , e se, qualunque sieno r ed n si ha tpi n \s) y>(s) ds = 0, 



Va 



si ha /n* < d. 



Notiamo che le funzioni 



(26) , t) , F*(s , , ... j/dD(s,0 

 nel primo caso, e le funzioni 



(27) I\(s , t) , r 2 {s , t) , ... f/S Mx(s ,t),—fd M 2 (s , 



nel secondo, formano una successione analoga alla (18); la successione ana- 

 loga alla (20) è nel primo caso fi x , /* 2 , ... j/d, e nel secondo [à^ , fa , ... 

 fd, — fd . 



14. Premesso questo si osservi che se ff l , cr 3 , ... sono costanti caratte- 

 ristiche proprie distinte, soddisfacenti alle condizioni o~ n > A" 2 (s) -|- J„ con 

 <*n!>0, se non sono in numero finito i loro valori assoluti ammettono un 

 solo punto limite, e precisamente il punto l tale che 1" insieme dei punti nei 



