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con D, modulo della sostituzione lineare (5), non nullo, e si indichi con 

 A w l'aggiunto di atj in D. 



Dette Ui , Ui , u$ le coordinate projettive omogenee di una retta r del 

 sistema n, avrà luogo per ogni punto della retta la relazione 



Ui Xi -j- w 2 x 2 -f- u-ì x 3 = , 



e detta r' la corrispondente di r in n al punto all' infinito della r le cui 

 coordinate sono proporzionali ad 



«2 , — U\ , 



corrisponderà sulla r', per le (5), il punto 



€L\ i Ur% #12 ^1 1 #21 ^2 #22 ^1 ? #31 ^2 #32 ^1 



e questo punto andrà anch'esso all' infinito, cioè la projettività definita 

 dalla Sì su r ed r' sarà una similitudine, se le coordinate della r veri- 

 ficano la relazione # 3i w 2 — az%U\ — 0, ovvero se la retta passa pel punto 

 all' infinito di coordinate 



#32 » #31 i 



al quale corrisponde sulla r' del sistema rì , 



— A 23 , Ai 3 , . 



Della retta cercata è così nota la direzione. Per fissarla completamente 

 bisognerà introdurre l'altra condizione che il rapporto di similitudine fra 

 le punteggiate corrispondenti deve ridursi all'unità. Trattandosi di una con- 

 dizione metrica converrà servirsi di un sistema cartesiano ordinario. 



La omografia Sì può allora esprimersi con relazioni fratte del tipo 



x l^x -{-m.y -{- n, _ l t x-\-m*y -f- n 2 



hx + m 3 y +1 ' l 3 x + m 3 y + 1 



ovvero, dividendo i termini delle due frazioni per —\/l\-\-m\ dopo aver 

 determinato i valori numerici dei coefficienti. 



(7) x = ai X bl y gl Y = fl2 - — - — Cì 



ax + fiy — y ax + py — y 



con y necessariamente positivo ed esprimente in valore ed in segno la di- 

 stanza della origine alla retta 



(8) ax + "jffy — Y- = . 



Ciò equivale a scegliere come positivo il senso della normale alla retta (8) 



«he va da verso la retta e ad indicare con a e /? i coseni direttori della 



normale cos'i orientata. 



