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Trattando nella presente Nota del problema generale, stabilisco il sistema 

 di equazioni a derivate parziali da cui il problema dipende, il sistema (A) 

 del n. 3, e ne deduco che la soluzione generale contiene tre funzioni arbi- 

 trarie essenziali. Essa è quindi assai più ampia delle particolari sopra ricor- 

 date, delle quali si esamina il modo come si deducono dalla generale. Ma 

 anche nel caso più generale, come già in quello particolare corrispondente 

 al teorema di Chieffi, si hanno metodi di trasformazione che permettono di 

 dedurre da una soluzione iniziale nota infinite nuove. Queste sono le tras- 

 formazioni Bfc delle deformate rigate dell' iperboloide, ed ancora qui il teo- 

 rema di permutabilità permette di semplificare, nel noto modo, i metodi 

 di trasformazione. 



Osserviamo che qui si presenta spontanea una generalizzazione delle 

 presenti ricerche sostituendo all'iperboloide rotondo ad una falda una qua- 

 lunque quadrica rigata, dove saranno da utilizzare in simile modo le tras- 

 formazioni B ft , ma di questo mi riserbo di trattare in Note successive. 



2. Suppongasi di avere una serie oo 1 di rigate R deformate dell'iper- 

 boloide rotondo ad una falda di cui siano A,B i semiassi j dell' iperbola 

 meridiana e suppongasi inoltre che la congruenza costituita dalle generatrici 

 delle R sia una congruenza normale. 



Di una qualunque di queste rigate R consideriamo la linea r di strin- 

 gimento che sarà, pel teorema di Laguerre, una curva di Bertrand, le cui 



due curvature, la flessione che indicheremo con L = - e la torsione M = 7=, 



e 1 



saranno legate da una relazione lineare, scriviamo 



(1) a sen c Ai — a cos c . M = 1 . 



le due costanti a , c essendo legate ai semiassi A . B dalle forinole 

 A = a sen e , B = a cos c . 



Mantenendo per la curva r le consuete notazioni (Lesioni, voi. I, cap. I). 

 si sa che i coseni di direzione X , fi , v della curva r di Bertrand coniu- 

 gata di r (avente le stesse normali principali di T) sono dati da 



(2) X = a sen c — X cos c , Ji = /? sen c — fi cose , v = y sen c — v cos e , 



e la rigata R si forma conducendo per ogni punto di r il raggio nella 

 direzione (X , /t , v) (Bioche). 



Consideriamo ora la superficie, che diremo 2, luogo delle 00 1 curve r 

 di Bertrand e riferiamola ad un sistema coordinato curvilineo (u , v) di 

 cui le linee v = cost siano le curve r stesse, e le u = cost intercettino 

 sulle r archi eguali, ciò che lascierà per ora arbitraria una linea iniziale 

 di questo sistema p. es. la u = 0, scelta la quale fisseremo le rimanenti 



