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assumendo a parametro u l'arco delle r contato a partire dalla u = 0. 

 Il parametro v resterà provvisoriamente indeterminato. 



Le coordinate x , y , g del punto (u ,v) di 2, come pure i coseni delle 



« fi Y 



tre direzioni principali delle curve r di Bertrand £ rj £ risulteranno 



X fi v\ 



determinate funzioni delle variabili u , v e potremo scrivere per la super- 

 ficie 2 le formole fondamentali del quadro : 



~òx _ 1)X 

 "ÒU ' "ÒV 



P« + Q£ + IU 



(3) 



^ = L * ' ^7 = ^-^ 



^£ T ^ 



— = — La — JVU , — = pX — ra 



tralasciando le analoghe ottenute con permutazione circolare rispetto agli 

 assi. In queste formole (delle quali quelle a sinistra sono le formole di 

 Frenet per le curve r) figurano, oltre le due funzioni L , M , legate dalla (1), 

 le tre rotazioni p , q ,r e le tre traslazioni P , Q , R . 



Scrivendo le condizioni d'integrabilità delle (3), si hanno per le rota- 

 zioni p , q ,r le equazioni differenziali 



/j\ ~àP t ~òq /T . ,, . 'òr , DL 



e per le traslazioni P , Q , R le altre 



< 6 > £- L « • 1=^- lp - mr • £-*»-«• 



Ma ora dobbiamo introdurre in calcolo l'ulteriore condizione che la 

 congruenza delle generatrici delle rigate R deve essere normale. Il raggio 

 generico della congruenza parte dal punto (se , y , s) coi coseni di direzione 



X = X = a sen c — X cos e , Y = Ji = /? sen <? — /< cos £ , 

 7j = v = Y sen c — v cos <? 



e la condizione di normalità, posto 



u = sx— , v = sx — , 



