si esprime con 



2l 

 1u 



Ma si ha subito dalle (3) e (6) 



U = sen c 



V 



P sen c — R eos c , 



e però la detta condizione si scrive 



(7) 



a q cos e . 



(9) 



D'altra parte, integrando la (7), risulta 



S X — - = P sen c — R cos c = ip(v) 



essendo tp(v) una funzione della sola v, ed ora se disponiamo conveniente- 

 mente della linea iniziale u — O sopra 2, che rimaneva arbitraria, possiamo 

 semplificare le formolo e dedurre una conseguenza geometrica notevole. As- 

 sumiamo per ciò la linea u — in guisa che risulti ortogonale ai raggi 



della congruenza uscenti dai suoi punti ('), e dovremo avere SX — = 



per u=0. Ma allora la (9) dimostra che sarà identicamente xp(v) = 0, e 

 perciò tutte le linee u = cost risulteranno, come la u = , ortogonali ai 

 raggi della congruenza. Risulta di qui il teorema in vista: 



Sulla nostra superficie 2 le linee ortogonali ai raggi della congruenza 

 (alle generatrici delle rigate R) intercettano archi eguali sulle curve T 

 di Bertrand, linee di stringimento delle rigate R. 



3. Scelto il sistema coordinato (u , v ) nel modo superiore la (9), essendo 

 tf)(v) = , ci dà 



e con questa e colla (8) risultano eliminate le due incognite Q,R; e sosti- 

 tuendo nelle equazioni differenziali (4), (5) coll'esprimere inoltre M per L 

 dalla (1): 



(10) 



E == tg è . P , 



M = L tg c 



1 



a cos c 



(') Si noti che una tale linea è necessariamente distinta dalle t> = cost, le quali 



7t 71 



tagliano i raggi della congruenza sotto l'angolo — — c diverso da — . 



