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otteniamo per le rimanenti 5 funzioni incognite 



p , q , r , L , P 



il sistema seguente: 



~òp __ T _ r p cos g j- r sen c 



7>w ~ì>v ' Dm a cos c cos c 



I "Sr. _( Lt . 1 \ ■ 1>L 



~òV _ . . «L — senc^ _ 



— = — acos£.L<7 , aL(p cos e -f- r sen c) A ~ r = 2r. 



\ Im iii i i a C0S 2 ^ 



Ora dall'ultima, che è una relazione in termini finiti fra L,P,_p,/*, 

 potremo trarre p. es. p in funzione delle rimanenti ed il sistema (A) si 

 convertirà nelle quattro incognite 



q , r , L , P 



in un sistema differenziale del 1° ordine risoluto rispetto alle quattro de- 

 rivate 



~òq 1>r 7)L ~Ò~P 

 ìju 1 ~ì>u ' ~iu ' ~òu ' 



I teoremi generali d'esistenza assicurano che la soluzione generale di- 

 pende da quattro funzioni arbitrarie di v, e cioè da quelle a cui si riducono 

 inizialmente q , r , L , P per u = 0. Ma di queste quattro funzioni arbitrarie 

 una è soltanto apparente e dipende dall'arbitrarietà ancora lasciata al para- 

 metro v. 



Così in definitiva: La soluzione generale del problema proposto di- 

 pende da tre funzioni arbitrarie essenziali di una variabile. 



Come si caratterizzano entro la soluzione generale le due particolari 

 indicate al n. 1 ? Per la prima, nella quale tutte le rigate R si riducono 

 all' iperboloide stesso, e quindi le curve r ad altrettanti circoli di raggio 

 a sen e , basta porre nelle formole generali 



L = — - — , M = , 



a sen c 



e le equazioni fondamentali per le funzioni incognite p ,q , P si riducono 

 alle tre seguenti 



(11) 2&— 2_ , ^Ì = __i^- , ^ = _cot,.?, 

 7>u a sene ~òu a sene l>u 



mentre r si calcolerà da 



P 



r = p cot e -j- 



a sen c 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° Sem. 28 



