e soddisferà alla — =0. L'integrazione delle (11) è immediata e prose- 



guendo si avrebbero, sotto altra forma, i risultati già ottenuti nel t. XXVI 

 degli Annali ed ivi interpretati geometricamente. 



4. Volgiamoci ora a caratterizzare similmente la seconda delle soluzioni 

 particolari fornita dal teorema di Chieffi. 



Per questo cominciamo dall'osservare che del sistema differenziale (A) 

 si può subito assegnare un integrale primo, poiché infatti l'espressione 



F(p cos c -j- r sen c) — a cos 2 e . q 2 



ha, identicamente nulla, in forza delle' (A), la derivata rapporto ad u, e 

 per ciò: 11 sistema differenziale (A) possiede l'integrale primo [quadratico] 



(B) F(p cos c -f- r sen c) — a cos 2 c . q 2 == F(v) , 



dove F(v) è una funzione della sola v. Ed anzi si noti che la funzione 

 F(v) resta effettivamente, nella soluzione generale, una funzione arbitraria, 

 tali essendo i valori iniziali di p , q , r , P per u = . 



Ora dimostreremo che : la soluzione particolare corrispondente al caso 

 di Chieffi è caratterizzata analiticamente dall' assumere nulla nell'inte- 

 grale primo la funzione F(v). 



Per questo osserviamo in primo luogo che, nel caso di Chieffi, la con- 

 gruenza è formata dalle tangenti alle geodetiche g, sulla superficie S de- 

 formata dell' iperboloide, che corrispondono alle generatrici di un sistema, 

 e sulla superfìcie .2, luogo delle linee di stringimento f\ le linee secondo 

 cui le sviluppabili formate dalle tangenti alle g tagliano 2 sono manifesta- 

 mente evolventi delle g, e perciò ortogonali ai raggi della congruenza. 

 Dunque : nel caso di Chieffi le sviluppabili di un sistema della congruenza 

 sono precisamente le u = cost. 



Ora se dalle formole 



— Fa — a cos c . qt -}- P tgc . X 

 = — cos c . qa -}- (p cos c -f- r sen e) £ — sen c . q& 



si calcolano le quantità fondamentali di Kummer della congruenza si 

 trova 



1 ^ p cos e -f- r sen c 

 E = — , F = 1 ! , Gr = q 2 -j- \P cos c -j- r sen cy 



e = , /'=/''== — cos c . q , 



/ ( P ) 



1 q = — ; 1- a cos c ( p cos c 4- r sen e) > q . 



{ y ( cos e 1 vr 1 ) 2 



( IsX 









= a 











ì 2^ 



_l 



^>X 





a 



1 



(*) Cfr. Lezioni, voi. I, § 137 e sgg. 



