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La condizione che le u = cost formino uno dei due sistemi di svilup- 

 pabili si scrive 



e calcolata coi valori precedenti diventa 



P (p cos e -j- r sen c) — a cos 2 c . q 2 = . 



Come si vede, nel caso di Chieffi si ha necessariamente F(y) = . ed 

 ora proveremo che inversamente se ¥(v) = siamo nel caso di Chieffi. In- 

 tanto se F(v) = le rigate M = cost della congruenza formano le svilup- 

 pabili di un sistema e noi consideriamo i corrispondenti spigoli di regresso 

 e la prima falda focale S, della congruenza loro luogo. Se con x x , y x , s x 

 indichiamo le coordinate del punto (u , v) di S, , avremo 



(12) Xi = x -4- qX , y, = y + qY , z x = Z + qZ , 



dove il valore dell'ascissa q si avrà subito osservando che le derivate rap- 

 porto a v di Xi , y x , Z\ debbono riuscire proporzionali a X , Y , Z . onde 

 risulta 



, . a cos c.q 



(13) c- 



p cos c -f- t sen c 



Dopo ciò, calcolando l'elemento lineare ds x della S! , proveremo che 

 questa S, è applicabile sull'iperboloide, le sue geodetiche w = cost essendo 

 le deformate delle generatrici di un sistema. 



Abbiamo 



dx\ = X dq -\- dx -f- q dX , ecc. 



e per ciò 



(14) ds\ — Sdxì = d? 2 + 2 dg S X da? -4- S dx 2 + 2(> S rfa; dX + (> 2 S dX 2 . 

 Ora calcolando troviamo 



S tó 2 = dw 2 + 2Pàà + ( + a 2 cos 2 <? . ? 2 ) dy 2 



1 \cos 2 c / 



( p ) 



S dx dX — - 2 cos c . q da do — ; 1- a cos c ( p cos c 4- r sen c) [ q dv i 



2 ( COStf ) 



S dX 2 = — -}- 2 ! dv -\- \ q -f- ( cos c -j~ v sen <?) 2 < rfy 2 



SX dx — sen c . du , 

 e sostituendo nel secondo membro della (14), coll'aver riguardo al valore (13) 

 di q ed al valore di P 



_ a cos 2 c . q 2 



P = , - = cos c . qo , 



p cos c -\- r sen c 



