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si vede che i termini in da dv e dv l si elidono e resta pel ds\ in coordi- 

 nate q , u la forinola 



ds\ = dg 2 -j- 2 sen c du dq -f- -|- 1 J du 2 . 



Ma questa appartiene appunto all' iperboloide rotondo ad una falda, ri- 

 ferito ai paralleli q = cost ed alle generatrici di un sistema u = cost. Con- 

 cludiamo quindi: La soluzione particolare data dal teorema di Càie ffi è 

 caratterizzata analiticamente dal porre F(y) = netV integrale primo (B) ; 

 geometricamente poi dalla circostanza che sulla superficie 2 le linee or- 

 togonali ai raggi della congruenza corrispondono alle sviluppabili di un 

 sistema. 



5. Ritorniamo ora al caso generale per dimostrare che anche in questo 

 caso nelle trasformazioni B ft per le deformate rigate dell' iperboloide rotondo 

 si ha un mezzo per dedurre da una soluzione nota del problema infinite 

 nuove soluzioni. 



In primo luogo stabiliamo l'esistenza della trasformazione complemen- 

 tare, che si ottiene senza alcun calcolo d' integrazione secondo il teorema 

 seguente: Se si ha una prima serie oo 1 di rigate R applicabili sull'iper- 

 boloide rotondo e le cui generatrici formano una congruenza normale, 

 una seconda tale serie si ottiene subito dalle loro rigate complementari R 



Per dimostrarlo ricordiamo ( 2 ) che la rigata R complementare di R si 

 forma conducendo pei punti {x , y , s) della curva r di Bertrand coniugata 

 di r i raggi coi coseni di direzione X , Y , Z coincidenti con quelli X , ]i , v 

 della binormale a r. Ora abbiamo 



x — x -\- a sen c . £ , ecc. 

 (1 — a sen c . L) a — a sen c . MX 



(P — a sen c. r) a — a cos c. qì -f- (P ty*c + a sen c.p) X 

 E siccome X = X 



-ars. ~ò5L . 



(') Indico di passaggio che il teorema vale anche pel caso in cui le rigate E siano 

 applicabili sopra iperboloidi rotondi diversi, quando però sia lo stesso per tutti questi 

 iperboloidi il momento delle loro generatrici rispetto all'asse. 



( 3 ) Cfr. Lezioni, voi, II, Nota I, pp. 573-576. 



) ~òu 

 ) ^ 



