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ne risulta 



S 



2>x ~hx 



1)U ~ÒV 



— a cos e . M<2 



S 



(1 — a sen eli) q , 



onde per la (1) le due espressioni ora scritte sono eguali, il che esprime 

 appunto che le generatrici delle R formano una congruenza normale, come 

 è asserito nell'enunciato del teorema. 



È manifesto così che da ogni soluzione del nostro problema se ne ot- 

 tiene subito, in termini finiti, una seconda mediante la trasformazione com- 

 plementare, che è di sua natura involutoria. 



Nelle generali trasformazioni B ft , che andiamo ora a stabilire, troveremo 

 invece il modo di moltiplicare all' infinito le soluzioni del problema, par- 

 tendo da una iniziale nota. 



6. Volendo procedere colle formole stabilite nella presente Nota con- 

 viene ricordare che le trasformazioni B ;[ delle deformate rigate dell'iperbo- 

 loide rotonda equivalgono perfettamente alle trasformazioni di Razzaboni ( l ) 

 delle curve r di Bertrand che sono le linee di stringimento di queste de- 

 formate rigate. 



Secondo le formole del § 23 della Memoria ora citata, applichiamo a 

 ciascuna curva r di Bertrand (y = cost) della superficie 2 una trasforma- 

 zione B<j, a costante o\ che la trasformi in una nuova curva r' di Bertrand 

 della stessa famiglia; avremo così 



(15) x = x -f- a cos a [cos c sen g> . a -f- cos g> . £ -}- sen c sen <p . A] , ecc. 



dove (f è una funzione di u , v , assoggettata per ora a verificare l'equazione 

 di trasformazione [ibid. § 23, formola (64)] 



/T . ~èg> L sene sene cos a 



(1) — — ; ; — — : r COS (f . 



7>k cose ce cos e (sen g -J- cos c) «(sen a -j- cos e) 



Quanto alla costante a essa è del tutto arbitraria e soltanto dovremo 

 supporre per il seguito 



(16) sen 2 a =j= cos* e . 



Notiamo poi che i coseni di direzione X' , Y' , Z' della binormale alla 

 coniugata r' di f sono dati da 



(16) X' = (sene sene -j- coso- cose cos y>) a — 



(') Cfr. i §§ 22, 23 della mia Memoria: Teoria ielle trasformazioni delle super- 

 ficie applicabili sulle quadriche rotonde. Memorie della Società dei XL, tomo IV della 

 serie III (1905). 



— cos c sen g> . J -f- (cos a sen e cos tp 



— sene cose) X , ecc. 



