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Meccanica. — ds 2 einsteiniani in campi neiotoniani. IY. // 

 sottocaso B 2 ) : Riduzione delle equazioni differenziali. Nota del 

 Socio T. Levi-Givita( 1 ). 



La precedente Nota III fu, per così dire, di preparazione generica: 

 questa sarà di preparazione specifica alla deduzione di una classe di inte- 

 grali. Si tratta del sottocaso B 2 ) [cfr. Nota II] , il più semplice, dopo quello 

 elementare (o galileiano) in cui lo spazio resta addirittura euclideo. Dalle 

 condizioni caratteristiche di B 2 ) scende (§§ 1-2) che lo spazio è atteggiato 

 a varietà normale di Bianchi con due curvature principali «i e <o 2 eguali 

 tra loro, talché (siccome la curvatura media si annulla in ogni caso) si ha 



1 



<»h = (tì 2 = — - (O, 



designando w la terza curvatura principale. Il quadrato dell'elemento lineare 

 è (§ 3) riducibile alla forma 



di* = e^(do 2 + dxl) , 



dove da rappresenta un elemento lineare binario (di cui anche i coefficienti 

 sono indipendenti da aj 3 ), e la funzione % è legata alla velocità della luce 

 V = V <2" (V costante di omogeneità) dalla relazione r = T-j-f, con 'Q 

 funzione della sola x 3 ; inoltre e~ 3T differisce da co per un fattore costante. 



Si potrebbe cercare di sfruttare tutti questi risultati simultaneamente 

 procedendo a diretta riduzione e integrazione delle equazioni gravitazionali 

 intrinseche, secondo il criterio indicato a § 4. Ma si richiederebbero calcoli 

 poco istruttivi e artifìci non spontanei. Ho preferito pertanto riprendere ab 

 initio le equazioni della statica einsteiniana, cercandone le soluzioni per 

 cui il dl % ha la forma indicata e % = v -f- £ (senza far intervenire ipotesi 

 concernenti la curvatura). In base a tali condizioni addizionali, le equazioni 

 si trasformano con procedimento sistematico rivolto alla separazione delle 

 variabili (§§ 5-6), applicando le formule della Nota precedente. Vien fatto 

 così di sostituire, come forma fondamentale, il da 2 binario all'originario 

 di 2 , e le espressioni che ne risultano per le curvature principali mostrano 

 a posteriori che le soluzioni in questione sono tutte e sole le B 4 ) cercate. 



Per ragione di spazio, mi sono arrestato a questo punto, rimettendo 

 alle prossime Note la discussione del sistema ridotto che non si presenta 

 ancora sotto forma immediatamente integrabile. 



(') Pervenuta all'Accademia 1' 11 ottobre 1918. 



