1. — Semplificazione delle condizioni di integrabilità 

 corrispondenti al sottocaso b 2 ). 



Ricordiamo — eoa riferimento alle Note precedenti e in particolare 

 alla II (') per simboli e formule — che il sottocaso B 2 ) è contraddistinto 

 dall'annullarsi di 



Ó 3 — 00 2 — (tì ì ; y i = y ì3ì , y 2 = y 3ì2 . 



La prima condizione esprime che sono eguali due delle curvature principali. 



Siccome la curvatura media = cox -f- «2 + <w 3 si annulla in ogni caso, 



così le tre curvature principali w, , co 2 , w A si possono esprimere per mezzo 

 di una sola funzione co (del posto) sotto la forma 



\1) (ti, = -CO , toc, = — -co , <w 3 = co. 



In una tale metrica (prescindendo dal caso particolare in cui co si riduca ad 

 una costante) assumono evidentemente posto cospicuo le superficie co = cost. 

 (luogo dei punti in cui lo spazio si presenta egualmente incurvato) e le loro 

 traiettorie ortogonali che chiameremo, come è naturale, linee di pendenza 

 (delle curvature). ' 



Delle tre direzioni principali di curvatura è univocamente determinata 

 soltanto quella corrispondente ad co, cioè [Nota II, § 4] la 3, che si dirà 

 assiale; le altre due sono unicamente sottoposte alla condizione di essere 

 perpendicolari tra loro e alla 8. Chiameremo naturalmente linee assiali 

 quelle definite dalle direzioni assiali 3. e congruenza assiale la [3], for- 

 mata dalle linee assiali. La relativa anormalità y 315 — y Zìl si annulla in 

 causa di y l = y ì = 0. Perciò la congruenza assiale taglia ortogonalmente 

 una famiglia di superficie, che gioverà assumere come superficie coordinate 

 ic 3 =cost. Va notato altresì che (annullandosi separatamente >' 312 e y 321 ) 

 sussiste la relazione 



(2) y 3 w + 732i = . 



Premesso questo, introduciamo nelle condizioni di integrabilità [(IV) della 

 Nota II 



(IV) ^ + ((Oi — co ft ) y m -j- ~ (w }ì — toj) = , 



(») Cfr. Nota I a pp. 307-317 del voi. XXVI (2° semestre 1917); Nota II a pp. 3-12 

 del voi. XXVII (1° semestre 1918); Nota III a pp. 183-191 di questo stesso volume 

 <2« semestre 1918). 



