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in cui i,k,j rappresentano indici distìnti, le determinazioni (1) delle cur- 

 vature principali. 



Anzitutto, per k == 1 o 2 , y = 3 (e quindi i = 2 ovvero 1 rispetti- 

 vamente) si hanno le due equazioni 



(IV.) | + S »S = » ■ <'-»..» : 



Cogli stessi valori di k, ma i = 3 (e quindi j eguale rispettivamente a 2 

 ovvero a 1) risulta 



(iv») ^- — dw n3 k = o (A=i.,2). 



Infine, per k = 3 , i = 1 o 2 (e quindi j = 2 o 1 rispettivamente), si 

 ricava 



che, unite alle precedenti, esauriscono le (IV). Quest'ultimo gruppo, eliuri- 



dv 



nandone le — per mezzo delle (IV ), può essere scritto 



Citi 



(IV.) ^_3a>y si 3 = 0. 



2. — Interpretazioni geometriche. 

 Riferimento ad un sistema triplo ortogonale. 



L'ipotesi w = implicherebbe, in virtù delle (1), l'annullarsi di tutte 

 e tre le curvature principali; si tratterebbe pertanto di spazio euclideo, e 

 si ricadrebbe nel caso galileiano B 3 ). già esaurito nella Nota II (§ 7). Va 

 quindi ritenuto w =j= 0, ed è lecito porre 



(3) co = »„ e~ 3x . 



designando con « una curvatura costante (non nulla, ma a priori arbitraria) 

 che si introduce per ragione di omogeneità, onde poter risguardare l'espo- 

 nenziale e con esso l'esponente r quale un puro numero. Tale è — ricor- 

 diamolo — anche v, legato alla velocità V della luce dalla posizione 

 [(2) della Nota II] 



V = V e" ( l ). 



(') A vero dire, nella Nota II, la costante moltiplicativa V (affatto inessenziale 

 perchè non compare nelle equazioni differenziali) era stata designata con c. Siccome si 

 suole attribuire a c il significato specifico di velocità della luce in assenza d'ogni cir- 

 costanza perturbatrice, così evito d'ora innanzi di adoperare la stessa lettera per una 

 semplice costante di omogeneità, che può benissimo non avere £come per es. vedremo 

 nella Nota V, § 4]] la detta interpretazione fisica. 



