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Per il semplice fatto che co non si annulla, segue dalle (IVj,) 

 (4) y 3 n = y 3 2s , 



la quale, associata a (2), sta ad esprimere che la congruenza assiale [3] 

 è isotropa, ossia può, in infiniti modi, riguardarsi costituita dalle interse- 

 zioni di due famiglie di superficie ortogonali fra loro (')• Due tali famiglie, 

 unitamente alla x 3 = cost., formano un sistema triplo ortogonale, talché, 

 assumendole come superficie coordinate x x = cost. . x 2 = cost., il quadrato 

 dell'elemento lineare dello spazio ha necessariamente la forma 



di 2 = Hi dx\ + III àx\ + H| dx\ . 



Abbiamo già osservato a § 1 che ogni terna trirettangola di direzioni 

 fra cui figuri quella assiale può essere risguardata come principale. Perciò 

 in particolare è lecito considerare come terna 'principale di curvatura 

 quella costituita dalle linee coordinate di un qualsiasi sistema triplo orto- 

 gonale cui appartenga la famiglia x 3 = cost. Così intanto risulta che ogni 

 varietà del tipo B 2 ) è normale nel senso di Bianchi, e quindi rientra nel 

 tipo B,) [Nota II, § 6], di cui però costituisce [in virtù della condizione 

 addizionale d 3 = Ó, ossia delle (1)] una classe speciale. Ed è ben giustifi- 

 cato il considerarla a parte, tanto più che B 2 ) si integra, mentre non si 

 saprebbe forse affrontare B,) nella sua generalità. 



3. — Forma finita sotto cui giova ritenere 

 le condizioni di integrabilità. 



Ricordiamo che le linee coordinate di un sistema triplo ortogonale co- 

 stituiscono tre congruenze normali, per cui le y con tre indici distinti sono 

 nulle, e le altre si riducono allo schema Queste si esprimono, per 



mezzo dei coefficienti H del di 2 riferito al sistema triplo, sotto la forma 



dlh ... 

 *»-J£ (.+.*), 



essendo 



H,, = e . 



(') Cfr. Ricci, Dei sistemi di congruenze ortogonali in una varietà qualunque, 

 nelle Memorie di questa Accademia, ser. V, voi. II, 1896, pp. 31 e 44. La denominazione 

 u congruenza isotropa » ricorre però soltanto nella successiva mia Nota Sulle congruenze 

 di curve, in questi Rendiconti, voi. Vili (2° seni. 1899), pag. 243. Le proprietà differen- 

 ziali delle congruenze, e in particolare delle congruenze isotrope, ivi riferite all'ordinario 

 * spazio euclideo, sussistono anche in una varietà a tre dimensioni di natura metrica qua- 

 lunque. 



