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colate (dalle equazioni di cui ci occupiamo), K\ dx\ -j- Kf flfajf costituisce un 

 generico de 2 binario. - 



Possiamo pertanto riassumere le condizioni di integrabilità come segue: 



(5) di* = e 2x di'* = e^{da* -\- da® , 



con da elemento lineare binario (a coefficienti indipendenti da x 3 ), ciò che 

 sostituisce le (IV") e (IV"); 



(6) v = r+'Q 



con £ funzione della x z , ciò che riproduce la (IV") ; infine r è legata 

 ad a. ossia alle curvature principali (a> 1 = &) 2 = — ~a>) del di 2 , dalla 

 equazione (3): le ,r 3 (x x — cost. . x 2 = cost.) sono linee assiali (cfr. § 1). 



4. Doppio modo di impostare la integrazione. 

 Preferibilità del secondo. 



Conseguite ormai sotto forma assai maneggevole le condizioni di inte- 

 grabilità relative al sottocaso B 2 ), si può ricorrere, per l'integrazione delle 

 corrispondenti equazioni gravitazionali, a due distinti criteri: 



1°. Par sistema delle equazioni intrinseche (I*) , (II*) della Nota II 

 colle condizioni di integrabilità (I V' a ) , (lV b ) , (IV'). riferendo il di 2 ad un 

 sistema triplo che rientri nel tipo (5), e semplificando poi ulteriormente 

 di mano in mano che se ne presenta l'opportunità, in modo da rendere 

 immediata taluna integrazione e giungere infine ad un sistema ridotto, in 

 cui figurano esplicitamente derivate ordinarie, al posto delle intrinseche. 



Il calcolo condotto per questa via mi è riuscito discretamente laborioso 

 e poco perspicuo, sicché reputo superfluo intrattenermivi, proponendomi di 

 sviluppare invece il criterio 



2°. Le condizioni di integrabilità esigono che il di 2 spaziale e v (le- 

 gata alla velocità della luce dalla relazione V = V e' t ) abbiano le forme 

 rispettive (5) e (6). Orbene, si riprendono le originarie equazioni gravita- 

 zionali (1), (II), e si cercano quelle loro particolari soluzioni, che verificano 

 anche (5) e (6). 



Le trasformazioni covarianti su cui appositamente richiamai l'attenzione 

 nella precedente Nota III consentono di caratterizzare queste soluzioni con 

 spontaneità ed eleganza. Il sottocaso B 2 ) vi è certo compreso. A posteriori 

 risulterà che esso è proprio costituito da tutte e sole le dette soluzioni. 



5. — Trasformazioni suggerite dalla forma (5) del di 2 . 



Le derivate seconde covarianti V,-* di una generica funzione V, prese 

 con referenza ad un assegnato di 2 , si sanno riportare ad un di' 2 che ne diffe- 



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