— 243 — 



2. — Prime conseguenze delle equazioni differenziali — 

 Caratteri salienti delle soluzioni. 



Si può tosto escludere che t}(x 3 ) si riduca ad una costante. Infatti 

 la (2) mostra che, per rj = cost , K> ; 2 = 0. La (5) implicherebbe allora 

 co = 0, e quindi (per essere w ì = m 2 = — \ w) l'annullarsi di tutte le cur- 

 vature. Si ricadrebbe pertanto nel caso B 3 ) (elementare o galileiano), già 

 esaurito nella Nota IL 



Ritenendo ormai rf non identicamente nullo, sarà anche rj generalmente 

 diversa da zero, e l'equazione, ricavata or ora, potrà essere risoluta rispetto 

 a K , porgendo 



(2') K = — 2^4-3^. 



ij ■ rj 1 



Dacché il primo membro, come curvatura del da 2 binario, dipende sol- 

 tanto da x x , x 2 , mentre il secondo è funzione della sola x 3 , la (2') richiede 

 che siano entrambi separatamente costanti. La (4) mostra allora (essendo rj 

 funzione della sola x 3 ) che le superficie x 3 = cost. hanno la curvatura 

 (costante sopra ognuna di esse) Kt] 2 , e riescono geodeticamente parallele. 

 Il gruppo di movimenti (a tre parametri) di queste superficie a curvatura 



da 2 



costante, che hanno per quadrato dell'elemento lineare — — , è quello stesso 



T 



del da 2 , il quale opera sulle sole variabili x { , x% . Un tale gruppo spetta 

 quindi (come gruppo intransitivo) anche alla metrica spaziale definita dalla (4). 



Concettualmente la integrazione può 'riguardarsi compiuta. Abbiamo 

 infatti riconosciuto che lo spazio (pur non restando euclideo) ammette un 

 gruppo intransitivo oo 3 di movimenti rigidi. Per K > 0, tale gruppo è sen- 

 z'altro isomorfo a quello delle rotazioni intorno ad un punto, e si è ricon- 

 dotti al caso oramai 'classico di Einstein (') (campo dovuto a masse distri- 

 buite simmetricamente attorno ad un punto). Ciò vale non solo per la metrica 

 spaziale, ma anche per il ds 2 quadridimensionale, dacché V, a norma della 

 (6), è funzione della sola x 3 , e quindi costante sulle varie sfere geodetiche 

 x 3 = cost. 



Va da sè che il caso di K <C è formalmente identico, passando attra- 

 verso l' immaginario, ma dà luogo a diversa interpretazione nel campo reale, 

 il gruppo dei movimenti essendo quello della pseudosfera. Per K = 0, le 

 superficie x 3 = cost. hanno curvatura nulla, e il gruppo di movimenti è 

 quello del piano euclideo. 



(') Veggasi la trattazione esauriente del Palatini (Sullo spostamento del perielio 

 di Mercurio, ecc., Nuovo Cimento, voi. XIV, luglio 1917. pp. 12-45), che prende appunto 

 le mosse dalla impostazione gruppale. 



