— 244 - 



3. — Formule esplicite — Legge della forza — 

 Comportamento longitudinale della deformazione spaziale. 



Alle equazioni (1) e (2) possiamo pensare sostituite la (2') e quella 

 che si ricava da (1) eliminandone E e £ mediante (2') e (3), ossia 



O '2 Ut 



' ' rj rj 



Non occorre tenerne conto perchè è implicita nella (2'), da cui, attesa la 

 costanza di K, discende per derivazione. La (2') stessa, posto per un mo- 

 mento § = r-=r , equivale a 



. Vv 



che giova sostituire col solito integrale primo 



5' 2 -|K5 2 = cost. 



La costante del secondo membro sarà, secondo i casi, positiva o negativa 

 (certamente positiva per K ■< 0). Checché ne sia, è lecito attribuirle la 

 forma — ì«K , dove « = ± l, e K designa una costante >. 0, che ha 



le dimensioni di K (cioè l~ 2 ). Eiponèndo per § il suo valore — = , si ricava 



VV 



rj 2 = Kr] 2 — sKoV 3 • 



La (5) diviene con ciò 



(5') fi» = eK i? 3 ('), 



donde in particolare apparisce che la costante K va ritenuta diversa da 

 zero : altrimenti si ricadrebbe nel sottocaso B 3 ) (curvature tutte nulle, ossia 

 spazio euclideo). 



Dacché K non si annulla (ed ha le dimensioni di K), possiamo assu- 

 mere la costante K sotto la forma K 0J tt (con /x, puro numero); la precedente 

 equazione può cosi essere scritta: 



(7) r j '* = K a ( f irj*-sr } s). 



(') Questa espressione di co è conforme al risultato generale trovato nella Nota 

 prececl. (§ l), specificando le condizioni di integrabilità del sottocaso B 2 ). Per ogni solu- 

 zione appartenente a tale tipo sussiste la relazione w = <o e _3T (con co costante). Qui 

 si riduce ad >}, e la (5') si identifica appunto colla ricordata condizione di integra- 

 bilità. 



