La (4), sostituendovi come variabile indipendente 17 ad x 3 , a norma 

 Iella (7), assume l'aspetto 



{ } " ~ rf ■ K r;V- £)? )' 



dove K > è una costante arbitraria di dimensioni l~ 2 , fi è una costante 

 numerica arbitraria (positiva, negativa o nulla), s — -±: 1, e d<s sta ad indi- 

 care- un elemento lineare binario di curvatura costante K = K /.i. Si do- 

 vranno prendere in considerazione soltanto valori positivi di rj, dacché 

 (§ 1) rj è il valore di una esponenziale. 



Le linee (geodetiche) su cui varia la sola # 3 , ossia la sola hanno, 

 in base alla (4'), l'elemento lineare 



(8) dg = ^ 



|/K rf]/ix — srj 



il radicale intendendosi preso positivamente. Supponiamo di contare l'arco g 

 su queste geodetiche, a partire da una generica, ma ben determinata super- 

 ficie (ad esse ortogonale) ij = j; , e di procedere, nel senso delle rj decre- 

 scenti, da r] verso lo zero. Si avrà così \dr t \ — — drj, e g, a tenore della 

 (8), andrà crescendo indefinitamente, perchè il differenziale del secondo 

 membro tende a diventare infinito d'ordine superiore al primo. Ne viene 

 che*, facendo decrescere rj da un generico valore positivo rj verso lo zero, 

 si tende all'oo , nella nostra varietà di elemento lineare (4'), allontanandosi 

 indefinitamente, in senso perpendicolare, da una qualsiasi superficie della 

 famiglia rj = cosi Quanto più si procede verso l' infinito, tanto meno la 

 varietà tende a scostarsi da uno spazio euclideo, perchè, in virtù della (5), 

 w, e con essa anche le due altre curvature principali &h = <w 2 = — ~ ut 

 convergono a zero assieme ad rj. 



La (3), isolando si integra e porge 



dove ho assunto L_ per costante di integrazione. Ciò è lecito, perchè da 



|/k; 



un lato è rispettata l'omogeneità, tale costante dovendo essere una lunghezza 



^ e f sono puri numeri, rj = è l'inversa di una lunghezza^. D'altro 



lato poi va tenuto presente che ci prepariamo e 1 - soltanto per sostituirlo 

 nella espressione (6) di V, in cui compare già una costante moltiplicativa 

 arbitraria. Sarebbe dunque ozioso introdurne una seconda. 



