Come questa difficoltà si può rimuovere nel caso c), fu mostrato da 

 Levi-Civita (*), con ingegnoso criterio. 



In questa prima Nota con opportuno adattamento del criterio di Levi- 

 Civita mi propongo di mettere in rilievo che il problema dei piccoli moti 

 ondosi in un canale di profondità finita {qualunque) si può far dipendere da 

 un unica equazione mista — cioè differenziale e alle differenze finite — 

 lineare e di second' ordine (di tipo parabolico) relativa ad un'unica funzione 

 olomorfa : essa è pertanto equazione caratteristica dei moti ondosi in discorso. 



In una Nota successiva farò vedere come da questa equazione caratteristica 

 scendano in particolare e nel modo più naturale le equazioni caratteristiche 

 (non più alle differenze finite) già conosciute e corrispondenti ai problemi 

 a), b) ; e infine che, beli' ipotesi di moti ondosi aventi carattere permanente 

 rispetto ad una traslazione uniforme (caso <?)) si ritrova l'equazione caratte- 

 ristica stabilita da Levi-Civita ( 2 ). 



Concludendo, l'equazione caratteristica che presento racchiude in sè tutti 

 i problemi di piccoli moti ondosi fino ad ora considerati e costituisce un 

 sicuro, e spero valido, punto di partenza per la ricerca di soluzioni ondose in 

 canali di qualunque profondità. 



1. Brevi richiami sulla impostazione del problema ( 3 ). — Si ammette, 

 com'è consuetudine, che il moto ondoso abbia luogo per piani verticali paral- 

 leli alle sponde del canale col medesimo comportamento in ognuno d'essi; 

 si ha così il vantaggio di ridurre il problema alle due dimensioni. Assumo 

 in uno generico di questi piani una coppia di assi cartesiani ortogonali ; 

 x , y coll'asse x orizzontale e coincidente col fondo del canale e l'asse y 

 verticale ascendente; è indifferente la scelta dell'origine che lascio arbi- 

 traria. Sia l il pelo libero, che allo stato naturale della massa liquida è 

 orizzontale, cioè è una retta parallela al fondo e che ne dista h — profon- 

 dità del canale — . A perturbazione avvenuta / muta forma, che in generale 

 è variabile col tempo t\ il moto ondoso ha quindi sede in una striscia inde- 

 finita S compresa tra il fondo y = e la linea l . 



Equazioni indefinite. — Supposto il moto regolare ed irrotazionale, 

 esistono: una funzione g>(t; x ,y) — potenziale di velocità — e la funzione 

 di corrente xp(t ; x , y) , funzioni armoniche associate, cioè legate tra di loro 

 dalle relazioni 



^ ' ~òx ìy ' ~òy ' 



(') Levi-Civita, Sulle onde progressive di tipo permanente [Questi Rend.; voi. XVI 

 (1907); pag. 777]. 



(-) Levi-Civita, loco citato. 



( 8 ) Lami), luco citato, pag. 351. 



