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deve, per la (4), mantenersi reale sull'asse reale. Ne segue per il noto prin- 

 cipio di riflessione analitica di Schwarz che f è prolungabile analiticamente 

 nella striscia S f : 



immagine riflessa di S, assumendo in ogni punto (x , — y) di S' il valore 

 coniugato di quello che essa assume nel corrispondente punto {x ,y) di S. 

 Per cui se nel punto s = x-\-iy è, in un generico istante :- 



f(t ; x + iy) = g>(t ; x , y) + iip(t ; x , y) , 



nello stesso istante nel punto coniugato z~—x — iy si ha: 



f{t ; x — ?» = (p{t;x ,y) — itft(t ;$,y). 



Da queste seguono: 



(8) 



( >(* ; « , y) = |r ; x -f «y).+ ; se — iy) j , 



( v(< ; * » y) = \ t | A' ; « + ? » — A' ; » — *y) j • 



Riferendosi, in particolare, ai punti del pelo imperturbato y = h , basta 

 porre in queste y = h, allora la condizione (7), relativa al pelo libero, può 

 scriversi : 



(7') 3£ | . 3 4. + ^ ; x _ a) | + 



fi 1 ; x> + *'*) — A* ; 35 — ih )\ = • 



v 



Conviene ora far intervenire la circostanza che f è funzione analitica: 

 la precedente, dedotta per x reale, vale per qualunque valore complesso s 

 appartenente al campo di esistenza ; per cui scrivendo z al posto di x , si 

 ottiene : 



(9) ^ft t {i + Ìh)fftt;i—a)]j + 



+ ìnsiti* ; * + »*) —/(<;•* — **) | = -. 



11 problema è ora condotto alla integrazione di questa equazione che 

 è differenziale lineare del secondo ordine e di tipo parabolico e nello stesso 

 tempo alle differenze finite. 



Facilmente si constata che ogni integrale della (9) reale sull'asse reale, 

 soddisfa alle volute condizioni al fondo e al pelo libero, per cui la (9)' è 

 equazione caratteristica dei moti ondosi in discorso. 



