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ed essendo, per qualunque n , I r n (t , s) <p{t) dt = sarà pure, per qua- 

 lunque n, f G n {t , s) <p{t) dt = : l'ultima eguaglianza si può anche scrivere 



■■■a 



n"- 1 ^ — k(s)) (f (s) = f b V n (t , s) <p{t) dt . 



J a 



Mettendo invece di n, 2n , tenendo conto che è ^ = d, avremo 

 (fi - k(s) ) <p(s) = fi £ «.(O A , 



e facendo tendere w ad oo , per la convergenza in media di ^ 2W ^ 1 ' ^ 

 verso D(t , s) , 



(,1* — #(s)) g>(s) = ,u I D(t , s) g>(i) dt , 



J a 



non può dunque essere D(s ,0 = 0. 



Si vede anche che fiD(s,t), ovvero fiMi(s , t), doveèjW = ( — l)' -1 ]/d 

 (quando le due funzioni Mi(s , t) ed M 2 (s , t) sono entrambe non nulle) è 

 funzione caratteristica corrispondente a /x. 



17, Passiamo ora a dimostrare quanto abbiamo enunciato al n. 15. 



Sia (t , tx) un intervallo dove cadono i valori di A(s) e c. Si fissi a 

 in modo che sia 



2c — a < t < ti <C a : 



il polinomio — 2<?a? -f~ (2<? — «) « prende valori negativi quando a- varia 

 in (t t ,ti) ed è minimo per x = e. 



Si avrà dunque, per x compreso in (t t , ti), 



(28) (e— «)* > — 2cx-\-{2c — a)a\. 



Sia <jp(s) una funzione fondamentale propria relativa a K(s , t) e 

 e corrispondente a c : chiamando P(s , il secondo nucleo iterato di K(s , t) 

 per mezzo di #(s) — c , si avrà : 



(29) o = (£(sj — <0 2 9>(s)+ f*?(*, 



J a 



e sarà quindi 



(30) C P(s ,.t) g>{t)dt=£0 . 



a 



La (29) si può anche scrivere 



Xcp(s) =p(s) g>{s) + f*P(* , 9>{t) dt 



