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con p(s) = k*(s) — 2ek(s) + (2e — a) a e X = — (c — a) 2 , quindi, tenendo 

 conto della (30), possiamo dire che A è una costante caratteristica propria 

 relativa a P(s , t) e p{$) . 



Nella (28) al posto di x si può mettere k(s), sarà dunque 



(31) / 2 >^ 2 (s). 



Si possono dare due casi: 1°) esiste un numero d >• tale che sia quasi 

 dapertutto 



(32) A?>^(s) + <>; 



ed allora, per i risultati della Nota III, si può determinare una funzione 

 r(s,t), caratteristica relativamente a P(s , t) e p(s), corrispondente alla co- 

 stante X ; 2°) la (32) non è soddisfatta per nessun ó > 0. 



Siano allora n t , ii t , ... tutte le eventuali costanti caratteristiche rela- 

 tive a P(s , e p(s) per le quali è soddisfatta quasi dapertutto la disu- 

 guaglianza 



(33) (**>p*(s) + ó 



con qualche ó ^> e r^s , t) , F 2 (s , l) , ... le corrispondenti funzioni carat- 

 teristiche, determinate coi metodi nella Nota III. Se in tutto quanto è esposto 

 ai nn. 12 e 13, sostituiamo alle funzioni K(s , t) e k(s) rispettivamente 

 P(s,t) e p(s) , possiamo formare le D n (s , t), e non sarà D 2 (s,^) = 0, 

 perchè allora non esisterebbe nessuna costante caratteristica propria diversa 

 dalle jit n , tranne eventualmente lo zero, mentre esiste la costante X < 0. 



Determineremo così un numero d tale che, qualunque sia la costante 

 caratteristica [i relativa a P(s , t) e. p(s), diversa dalle fi, n , si avrà fi 2 ^d. 

 Sarà dunque A 2 j< d . 



Ma non può essere X 2 <^d, perchè allora, per la (31), si potrebbe. de- 

 terminare «]>0 in modo da avere quasi dapertutto d ^> p 2 (s) -J- f ; quindi 

 \/d, presa con segno conveniente, sarebbe una costante caratteristica sod- 

 disfacente alla (33). Allora sarebbe ]/d = /ii e si verrebbe a determinare 

 una funzione caratteristica R,(s,t), corrispondente a \/d. per la quale si 



avrebbe f r,(y , s) E(v ,t)dv = 0. Ma si dovrebbe anche avere 



J a 



(]/d — p{s)) R(s , t) = Cri(v , s) E{v ,t)dv e (j/d — />(*)) R(« » — 



' f 6 



R(v , s) R(y , t)dv , quindi R(y , s) R(y , /) = , 



e finalmente R(s , tf) = . 



Sarà dunque X* = d e perciò anche in questo secondo caso, per l'osser- 

 vazione del n. 16, si può determinare una funzione r(s,t), caratteristica 



