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relativamente a P(s , t) e p(s), corrispondente alla costante l. F{s,t) sarà 

 pure funzione caratteristica relativa a P(s , t) e (k(s) — e) 2 corrispondente 

 alla costante zero e si potrà porre 



OO 



F(s , t) Y (k(t) — cf ip m (s) xp m {t) , 



le ip m (s) formando un sistema ortogonale. Esse sono funzioni fondamentali 

 proprie relative a P(s , t) e (k(s) — e) 2 , corrispondenti alla costante zero, 

 perciò saranno pure fondamentali relativamente a K(s , t) e k(s) — ce cor- 

 risponderanno alla costante zero, cioè, finalmente, sono fondamentali relati- 

 vamente a K(s , /) e k(s) e corrispondenti alla costante c . 

 La successione delle somme parziali della serie 



T(c — k(t))xp m {s) xp m {t) 



converge in media verso una funzione H(s , t) e si avrà 

 r(s,t) = — (c — k{t))B(s,t). 

 Si ha evidentemente 



(c — k{s)) H(s , t) = Ck{s , v) E(v ,t)dv. 



J a 



Inoltre, se q>(s) è una funzione fondamentale relativa a K(s , t) e k(s) cor- 

 rispondente a c , sarà pure fondamentale relativamente a P(s , /) e (k(s) — c) % 

 e corrispondente a zero, e perciò si avrà 



— (k{s) — e) 2 g>(s) = i r(t,s) <p{t) dt , 



J a 



cioè 



— (k(s) — cf (p{s) = (k(s) — c) f b fi(t , s) <p{t) dt , 



J a 



quindi, quasi dapertutto nell'insieme dei punti s dove è k(s) 4= c 

 (c — k{s)) g>{s) = f R(t , s) y(0 <fc . 



J a 



Ma questa eguaglianza è soddisfatta anche quasi dapertutto Dell' insieme dei 

 punti s dove è k(s) = c, perchè allora tanto il primo che il secondo membro 

 hanno valore nullo ('). 



Concludiamo finalmente che H(s , t) è funzione caratteristica relativa 

 a K(s , t) e k(s), corrispondente alla costante c . 



È poi facile dimostrare che ad una costante caratteristica corrisponde 

 una funzione caratteristica unica. 



C b 



(') I H(£ , s) cp(t) dt non è altro chela funzione verso cui converge in media la 

 Ja 



oo rb 

 successione delle somme parziali della serie £ (c — k(s)) if> m {s) I xp m (s) q>(s) ds . 



m=i J a 



Rendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° sem. 35 



