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Matematica. — Condizione necessaria e sufficiente per la de- 

 rivabilità termine a termine di una serie di funzioni. Nota di 

 Gustavo Sannia, presentata dal Socio Enrico D'Ovidio. 



1. 1 termini di una serie di funzioni 



(1) u y (x) u z {x) -\ \-u n (x)-\ , 



convergente in un intervallo (a , b) , ammettano derivata in un punto x = e 

 dell' intervallo. Allora una quistione importante (fin qui rimasta insoluta) è 

 di assegnare la condizione necessaria e sufficiente affinchè la serie delle 

 derivate 



(2) + }-< + ■'■ 



sia convergente e rappresenti la derivata nel punto c della somma u(x) 

 della (1). 



Questa condizione è la seguente: 



Dati due numeri positivi s ed N , deve esistere un numero intero n 

 maggiore di N , tale che,, per ogni valore, finito o infinito, del numero 

 intero positivo p esista un intorno \ p (*) di c in tutti i punti x del quale 

 (escluso e) risulti 



\_U n+l {x)-\ f- U n + P (x)~\ [u n +i (g) H h U n+ p{c)~] 



X — c 



(3) 



Essa risulta dai due teoremi seguenti: 



Affinchè la (2) sia convergente è necessario e sufficiente che, dato 

 un numero positivo f, esìsta un numero intero positivo n (maggiore, se 

 si vuole, di un numero positivo assegnato N) tale che, per ogni valore 

 finito dell' intero positivo p , esista un intorno l p di c , in tutti i punti x 

 del quale (escluso c) sussista la (3). 



Infatti, affinchè la (2) sia convergente è necessario e sufficiente che, 

 dato s > , esista un intero positivo n (maggiore, se si vuole, di un nu- 

 mero positivo assegnato N) tale che, per ogni valore finito del numero in- 

 tero positivo /), risulti 



| u' n +\ -J -\-U 



IO 



ossia 



\ji„ +1 (x) -\ (- U n +p (X)~] [U n +i (C) -j 1- U n+p (<?)] 



(4) 



lim 



O; 



(') Intorno sinistro (destro) di c, se si considerano soltanto le derivate a sinistra 

 (a destra) del punto c. 



