ed affinchè la (4) si verifichi è necessario e sufficiente che esista un in- 

 torno \ p di c in tutti i punti x del quale sia soddisfatta la (3). 



Se la serie (2) è convergente, affinchè la sua somma sia la deri- 

 vata nel punto c della somma u(x) della (1) è necessario e sufficiente che, 

 dati due numeri positivi t e N , esista un numero intero n maggiore di 

 N tale che, in tutti i punti x di un intorno !«, di c {escluso c), risulti 



(5) 



versi 

 (5)' 



u n +ì (x) + u„ +!l (x) -) ] — [u n - +ì {c) -f- u u+ì (c) -\ ] 



Detto r n (x) il resto della (1) dopo il termine u n {x) , la (5) può scri- 

 ba?) — r n (c) 



La condizione enunciata è necessaria. Infatti, se la somma u' della (2) 

 è la derivata nel punto c della somma u(x) della (1). dato * > , esiste 

 un intorno I! di c nei punti x del quale (c escluso) si ha 



(6) 



u(x) — u(c) 



< 



3 ' 



inoltre si può trovare un intero n, maggiore di un numero positivo prefis- 

 sato N, tale che sia 



(7) 



u' — s' n |.< — , (s' n =u[-\ \- u f n ) ; 



e poiché la funzione s„[x) = u x {x) +•■ •.• + u n (%) ha per derivata s' n nel 

 punto c, si ha pure 



(8) 



S'n 



Sn(%) — S n {c) 



X — c 



< 



in un intorno I" di c (escluso c). 



Dalle disuguaglianze (6), (7), (8) e 



r n (x) — r„(c) 



u(x) — u(c) 

 X — c 



— u 



S n (x) — S n (c) 



segue che la (5)' = (5) è soddisfatta in tutti i punti x del più piccolo 1* 

 dei due intorni 1' e I" di c. 



La condizione è sufficiente. Infatti, poiché u' è la somma della (2), 

 dato £>0, esiste un numero positivo N, tale che valga la (7) per ogni 

 intero n maggiore di esso; e se la condizione enunciata è soddisfatta, si 



( l ) Questa condizione non è che il limite della precedente per p — -\-co . 



