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può scegliere uno di questi valori di n per modo che la (5) = (5)' sia sod- 

 disfatta in un intorno I*. di c ; infine, poiché s' n è la derivata di s n (x) in c, 

 vale la (8) in un intorno I" di e. 

 Dalle (5)', (7), (8) e 



u(x) — u(c) 

 X — c 



segue che 



S n (x) S n (c) 



X 



Sr 



u(x) — u(e) 

 x — c 



\r n (x) — r„(c) 



x — c 



nel più piccolo degli intorni l p ed I" di c, ossia che vi è la derivata di 

 u(x) nel punto c. 



2. Supponiamo ora che i termini della serie (1) siano derivabili in 

 tutti i 'punti dell' intervallo (a , b). 



Affinchè la serie delle derivate 



(9) 



u[(x) + u't(x) -\ 1- u'„(x) -f- 



sia convergente e rappresenti la derivata della somma della (1) in tutti 

 i punti deW intervallo {a , b), é sufficiente che : dati due numeri positivi 

 s e'N, si possa decomporre V intervallo (a , b) in un numero finito di 

 parti Pi , P 2 , ... Pr e si possano trovare altrettanti numeri interi n x ,n 2 , ... n r 

 (distinti o non) maggiori di N, per modo che risulti 



(10) 



per ogni valore finito o infinito dell'intero positivo p e per ogni coppia 

 di punti Xi , x 2 della farle P s (s = 1 , 2 , ... , r) . 



Supponiamo che questa condizione sia soddisfatta e che. dati e e N. 

 si siano costruite le parti P^, ... , P r e si siano scelti i numeri n x , ... , n r . 



Sia Xi uq punto fisso di {a , b). Esso apparterrà ad una parte P s e 

 la (10) varrà in ogni punto x 2 ={= x x di P s e per ogni valore, finito o non. 

 di p. Se Xi è interno a P s in senso stretto, ciò basta per asserire che la (9) 

 è convergente per x = x 1 e che la sua somma u'{x\) è la derivata della 

 somma u(x) di (1) per x — x x . (Perchè è soddisfatta la condizione enun- 

 ciata in principio del n. 1 per n = n s e \ v = P s ). Se invece ~X\ è l'estremo 

 sinistro (destro) di P s , ciò permette di asserire soltanto che u\x x ) è la de- 

 rivata di u(x) a destra (a sinistra) del punto x, ; ma in tal caso x t è pure 

 l'estremo destro di P s _i (sinistro di P s +i), se non cade in a o in b , dunque 

 u'{xi) è anche la derivata di u(x) a sinistra (a destra) del punto x x . 



