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denominazioni il § 1 della Nota IV) ( 1 ). Si tratta, come si vede, di una 

 proprietà puramente geometrica. A differenza di quanto accade nella prima 

 categoria di soluzioni, non c'è legame semplice fra le linee di forza e le 

 linee caratteristiche della deformazione. 



Un caso limite (§ 6) di soluzioni quadrantali è assai prossimo ai campi 

 uniformi dello spazio euclideo, e porge un nuovo esempio (cfr. la prefazione 

 della Nota precedente) di quella poligenesi (a partire da un ordinario po- 

 tenziale newtoniano) che contraddistingue le soluzioni rigorose dalla prima 

 approssimazione. 



1. — Le equazioni in £ (per £ non costante). 



Si tratta delle equazioni [(17) della Nota IV] 

 (1) ^-{Aj^ì^O (»,A=l,2) t 



dove le «,- ft , le derivate covarianti della funzione £ e il parametro si rife- 

 riscono alla forma binaria 



2 



da 2 = y_. J; uà dxi dx-n . 

 i 



Le (1) rimangono identicamente soddisfatte nell'ipotesi particolare di £ co- 

 stante, ampiamente discussa nella Nota precedente. Vediamo ora le conse- 

 guenze dell' ipotesi opposta. 



Moltiplicando per £ <ft> e sommando rispetto all'indice k, risulta 



(1') ■ ' yj m &K — iA2$a ik ) = (i = 1,2)'. 



i 



Soffermiamoci un momento per stabilire che queste equazioni, pur essendo 

 due soltanto, ammettono le originarie (1) come necessaria conseguenza, sicché 

 c' è equivalenza fra (1) e (1'). Osserviamo all'uopo che (essendo ormai esclusa 

 la costanza di £) non possono annullarsi identicamente, nè entrambe le deri- 



2 



vate §! , £ 2 , nè entrambi gli elementi del sistema reciproco £ cft) = 5_ h a (m g h . 

 Le (1') esigono perciò che si annulli il determinante di elementi 



bm = Sik — | A 2 £ Ojtk {i » * == 1 i 2) • 



Per sfruttare questa circostanza, poniamo 



)/^zb lx —b x , ±b.ii ==bi bn , 

 adottando il segno superiore per b n positivo, l'inferiore per b u negativo, 



(') Ibidem, pag. 221. 



