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in modo che b x riesca reale in ogni caso. Dall'annullarsi del determinante 

 bnb 2 2 — segue allora z±: b 22 = bl , e rimane acquisito che (bi , b 2 desi- 

 gnando acconcie ausiliarie reali) sussistono le identità 



£i» — i A2 £ aik — — bi b h : 



circa il segno da preporre ai secondi membri, basta ritenere che esso è il 

 medesimo per ogni coppia i-, ti. 



Moltiplichiamo per a im e sommiamo. Il primo membro si annulla, 

 talché 



ìL'a"" hh = o. 

 i 



Siccome la forma di coefficienti a (m è definita positiva (al pari del da 2 , di 

 cui è reciproca), la precedente condizione richiede l'identico annullarsi di 

 bi , b 2 . Ne consegue 



£ik — j A2 £ &m — , 



e quindi l'annunciata equivalenza fra le (1) e le (T). 

 Ciò premesso, ove si noti che 



t)Xi 1 1 1 



le (1') assumono l'aspetto 



(À£)< — A? £ • = (* — 1, 2), 



e si possono .quindi compendiare nell'unica equazione ai differenziali totali 



Perchè questa sussista è necessario e basta che i due parametri A£, A2^ 

 sieno entrambi funzioni della sola £, la prima a priori arbitraria, e la 

 seconda eguale alla rispettiva derivata. Attribuiremo a A? la forma K £(§) 

 con K costante positiva di dimensione l~ 2 (e quindi interpretabile come 

 curvatura superficiale), che introduciamo per ragione di omogeneità, onde 

 poter riguardare S puro numero al pari di £ . 



Escludendo eventuali punti (isolati) in cui potrebbero annullarsi e £ 2 , 

 il parametro A? è positivo; sarà perciò, generalmente, =■(£)> 0. Rimane 

 inteso che noi riferiremo le nostre considerazioni a campi in cui una tale 

 disuguaglianza si trova soddisfatta. 



In definitiva le originarie (1) sono sostituibili colle due condizioni 



(1") , A 5 £=K .s': 



va da sè che l'apice apposto ad una funzione di un solo argomento, quale 

 la M(£), designa senza ambiguità derivazione rispetto a quell'argomento. 



