Inoltre è diverso nei due casi il modo di variare di co. Nelle soluzioni 

 longitudinali le linee assiali erano traiettorie ortogonali delle superficie 

 io = cosi, e quindi coincidevano colle linee di pendenza. Qui, a norma 

 della (8'), le linee di pendenza sono le £ (g> = cost. . xp = cosi), ortogo- 

 nali alle linee assiali xp. Le soluzioni di cui stiamo occupandoci si chiamano 

 quadrantali appunto per il fatto che si tagliano ad angolo retto le due 

 congruenze di linee, intrinsecamente caratteristiche, assiali e di pendenza. 



Giova rilevare che le superficie q> = cosi, e così pure le xp = cost., 

 sono piani geodetici, nel senso che ogni loro linea geodetica è anche geo- 

 detica rispetto alla metrica dello spazio ambiente ('); all'incontro non si 

 tratta di superficie a curvatura gaussiana nulla: per es. le i// = cosi, in 

 base alla stessa definizione di curvatura riemanniana secondo una data gia- 

 citura, hanno la curvatura co . 



Le linee assiali (su cui varia la sola xp) appartengono evidentemente 

 ai piani geodetici ^ = cost. e ne costituiscono le linee £ = cost. Esse risul- 

 tano geodeticamente parallele nella metrica superficiale subordinata dalla (7) 

 per — cost. La loro curvatura geodetica y, in base a nota formula ( 2 ). vale 



e si mantiene manifestamente costante lungo una stessa linea £ = cosi Le 

 linee assiali possono pertanto riguardarsi come circoli geodetici (linee 

 piane a curvatura costante) della metrica (7). 



Se si fa convergere £ a zero (come già rj, a § 3 della Nota preced.), 

 ci si allontana indefinitamente nella varietà, tendendo all' oc la distanza da 

 una generica superficie £ — cosi, contata sulle geodetiche ad essa ortogo- 

 nali ; ecc. 



Lo superficie equipotenziali — jV s = cosi. o, ciò che è lo stesso. 

 V = cost., non coincidono più, come nell'altra categoria, colle co — cost., 

 ma dipendono da £ e da xp a norma delle (9) e (12). Perciò le linee di 

 forza non coincidono colle linee assiali (su cui varia la sola xp), nè colle 

 linee di pendenza (su cui varia la sola £) ; e nemmeno le incontrano sotto 

 angolo retto. Ne consegue, considerando intuitivamente l'andamento delle 

 linee di forza come causa meccanica e la distorsione geometrica dello spazio, 

 cioè l'andamento delle linee principali di curvatura (e, per esse, assiali e 

 di pendenza), come effetto, che il comportamento delle soluzioni in discorso 

 non è longitudinale, nè trasversale; ma misto. 



(') Si può rendersene conto sia, direttamente, in base alle equazioni di Lagrange 

 per le geodetiche, sia invocando un risultato specifico dovuto al sig. Hadamard. Cfr. 

 Sur les éléments linéaires à trois dimensions, Bull, des sciences matti., tomo XXV, 

 190;, pp. 37-40. 



( 2 ) Cfr. Bianchi, Lezioni di geomeiriu differenziale, voi. I [Pisa, Spoerri, 190 

 pag. l c 4. 



