tinua a valere se al posto delle x rs e delle d*u si scrivono le derivate co- 

 varianti, e i differenziali controvarianti. 



I metodi qui esposti si possono applicare a tutti i problemi relativi 

 ad enti geometrici, le cui coordinate sono legate da una relazione qua- 

 dratica : p. es. alle ipersuperfìcie, e ai sistemi di sfere o ipersfere rispetto 

 al gruppo conforme di uno spazio euclideo ('). 



2. Sistemi di rette. Indicheremo le coordinate proiettive di rette con 

 x , y , z , p , q , r supposte legate dalla ( 2 ) 



(1) S^ 2 = rc 2 + «/ 2 -f-^+p 2 + ? 2 + r 2 = 0. 



Non si introdurranno però inutilmente quantità complesse, perchè avremo 

 cura di far comparire soltanto quadrati delle p , q , r , e delle loro derivate. 



Un sistema di rette si definirà dando le x , ecc. (cioè le x , y , ... , r) 

 in funzione di n parametri u% (i = 1 , ... , n). E n =■ 1 per le superficie ri- 

 gate, che noi qui non studiamo; è n = 2 per le congruenze; n — 3 per i 

 complessi. Evidentemente da (1) segue 



(2) Sxxj = (/<»). 

 Porremo 



(3) (p = 2a^ duj du s = Sdx* ; 



ne supporremo il discriminante 4 ={= (col che escludiamo le congruenze 

 a falde focali coincidenti, e i complessi delle tangenti a una superficie); 

 indicheremo con A ? - s il complemento algebrico di a^ in ./, diviso per 4 . 



con I ^ I i simboli di Christoffel di seconda specie. Da (2) . (3) si deduce, 



usando derivate covarianti secondo <p: 



(4) cijs — Sxj x s = — Sx Xj S ; Sxj x st -f- Sx s x# = — Sx t Xf, — Sx Xj St — aj U — 

 (perchè le derivate covarianti di % s sono nulle). Se ne deduce tosto: 



(5) Bxj x st = Sx Xj st = . 

 Porremo : 



(6) J 2 x = 2 Aj S Xj S ; J 1 x = 2Aj S XjX s ; D 2 x — 2xj S duj du s ; 



D 3 x = 2xj,t duj du s du t . 



(') Per le superficie dello spazio ordinario non si troverebbe nulla di nuovo. Cfr. 

 l'ultimo paragrafo della mia Mem.: Applicabilità proiettiva di due superficie (Rend. del 

 Oirc. Matem. di Palermo, 1916, tomo 41). 



( 2 ) Una somma sarà indicata con S, o con 2 secondo che i suoi addendi si otten- 

 gono l'uno dall'altro sostituendo alla x le y,z, ecc., oppure facendo variare gli indici. 



