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Per (5) sarà 



(7) — Sxjh x st = Sxj Xftn , 

 donde 



(8) — S(Dga)* = S&D 3 #. 



Le coordinato x . >/ , ... sono determinate a meno di un fattore: che 

 cosa avviene se ad esse sostituiamo le x — qx ,y = gy ecc.? Il nuovo va- 

 lore y della (3) è evidentemente Q 2 g>; le x rs saranno le derivate covarianti 

 di x = qx rispetto non più alla <p , ma alla Tp = Q 2 y> . Si trova facilmente, 

 ponendo t hh = 1 , s hìì — per h =f= k , e indicando con un soprassegno i 

 nuovi valori delle nostre espressioni, che: 



x = gx ; <f = Q*(f ; A hk = — a hH ; J = q 3 J ; a rs = Q* a rs 



hk\ i hk\ 



( l ) = ( l ) * w ^ l0g ^* ~^ * w ^ l0g _ am — A ' m ^ l0g ^ m 



/ 2 1 



(9) = £ x rs + « ( (V? — — $r Qs H 0*-s ^1?) + «rs X A <m ^ tf m 



(e analoghe in y , ecc.; si noti che Q r ? è calcolato secondo g>). 

 Ne deduciamo subito alcune conseguenze. Si ponga: 



(10) X = - J 2 x donde SX^ = — 1 SX^, = 0. 



Per ogni valore di r,s, il complesso lineare di coordinate x rs — 

 — a„X, ecc. , varia nel fascio di complessi determinato dal complesso 

 di coordinale dal complesso (speciale) di coordinate x , 



«ce. (Con 1' ecc. indico le quantità dedotte sostituendo y , g ,p , ... alla x). 



(11) X rs a rs X==Q (X rs — flVs X) -j- 



-j- X 



Qrs ~ Qr Qs + ~ Crs lQ — ~ * ìQ J • 



Il complesso di coordinate X , ecc. varia nel sistema lineare indivi- 

 duato dai complessi x , x s , X . Questo sistema lineare è proprio oo M+1 , 

 perchè le x , x s , X formano n -\- 2 sistemi linearmente indipendenti. Se 

 infatti fosse 



ax 



■-{- ^_b s x s -j- cX = (e analoghe in «/,...) 



