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plicando (16) per A rs e sommando coi risultati ottenuti facendo variare gli 

 indici r,s, si trova che le forme xp ,% sono coniugate alla reciproca della <p, 

 cioè die: 



(18) 2A r ,* ri =i2A rs tf rs = 0. 



Ma non pare opportuno rendere p. es. la x — 1 , perchè tale ugua- 

 glianza non si conserva per trasformazioni proiettive. Consideriamo invece 

 l'equazione di terzo grado in co ottenuta uguagliando a zero il determinante 

 \ooa rs — c rs \, (discriminante di eoe/ — y) , Se le tre radici di questa equa- 

 zione sono nulle, allora, pensate le du r come coordinate omogenee di punto 

 in un piano o\ le <p — , il' = rappresentano due coniche Ccp , C x , di 

 cui la seconda coniugala alla prima pensata come inviluppo. Perciò, se le 

 tre radici m s sono tutte e tre nulle, allora o la. forma % è identicamente 

 nulla (nel qual caso proveremo che il complesso è lineare), oppure la C y 

 si scompone in una retta tangente alla C», e in un'altra retta passante 

 per il punto di contatto. Questo caso, che chiameremo il caso anormale, è 

 da studiare a parte. Nel caso generale (caso normale), le radici si mu- 

 tano in m 2 = — , se si moltiplicano le x,y,... per q. Noi potremo deter- 

 Q 



minare q in modo razionale ed intrinseco, imponendo che una funzione sim- 

 metrica delle w r [p. es. quella che si presenta come denominatore nelle for- 

 inole di risoluzione delle seguenti equazioni (19)] valga l'unità. Le altre 

 due funzioni simmetriche, indipendenti dalla precedente, sono due inva- 

 rianti proiettivi del complesso, che eredo non osservati finora, e che potremo 

 chiamare le curvature proiettive del complesso. Fissato q, restano deter- 

 minate in modo intrinseco le coordinate, che diremo normali, di una retta 

 del complesso, le quali per una collineazione subiscono soltanto una tras- 

 formazione ortogonale a coefficienti costanti a determinate unità. Restano 

 anche determinate le forme cp , </' , x i ciascuna delle quali definisce una 

 geometria metrica, completamente individuata dal complesso ed invariante 

 per collineazioni (finora era stata generalizzata la sola nozione di angolo : 

 quello definito dalla metrica che ha <p per elemento lineare). 



Escludiamo, oltre al caso anormale, quello in cui le coniche Co . C y 

 siano bitangenti: casi molto semplici, ma che si debbono studiare a parte. 

 Negli altri casi proveremo che le (16) equivalgono ad un sistema di equa- 

 zioni ai differenziali totali. Infatti, indicati con (si , rp) i simboli a 4 in- 

 dici di Riemann per <p , le condizioni di integrabilità di (16) sono per una 

 forinola di Ricci di calcolo assoluto 



•£fst %rtS == ~~~ (st , rp) A-pq Xq 

 M 



