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che diventano nel caso attuale: 



(19) CU S Xj — a rt X s -f C rs %t — Cn £ s = 



= (C rts — C rst ) £ + {b r ts b rst ) X — b rg X t + èri — X (*< , rp) A pq X g 



che, risolute rispetto alle ? s , £ t , X g X 4 , dànno queste come combinazioni 

 lineari delle x.x p ,ì; ( l ). £e (1(3), (19) costituiscono perciò un sistema 

 di equazioni ai differenziali totali, che permettono di determinare un 

 complesso di date forme g>,ip,%- Le condizioni di inter/r abilità (che non 

 scrivo, anche per ragioni di spazio) sono nella geometria proiettiva dei 

 complessi l'analogo delle equazioni di Gauss e Codazzi nella geometria 

 metrica delle superficie. La 



( 1 Q)bu X = — ~~= (x,Xi,x 2 ,x 3 ,X, D 2 x) 



dà, innalzando al quadrato, una semplice espressione per y 2 , che si può de- 

 durre anche da (1(3), ricordando (15): 



(20) tf=— S(D 2 ;e — 9>X — xifJ) 2 = 



= — S (D>z — <f>X) 2 = — S (D 2 cc) 8 -+ 2q> SX D 2 x — SX* 



perchè = S^? 8 = S«^(D 2 .i' — yX). 



Si noti, per il confronto con la teoria delle congruenze che, posto 



/o i \ \ h rspq = — Sx rs %pq ì si ha : — S (D 2 r/) 2 = 2 h rgpq du r du s du p du q 

 (al) < 



f 2X 2 == 1/9 — h rsp q A rs A. p q ; SX D 2 ,t — 1/3 2 A rs h rspq du p du q . 



4. Interpretazione geometrica. Deformazione proiettiva di un com- 

 plesso. Sia ax -\- by -\- cz -\- Ip -{- mq -\- sr = (a . b , c , l . m , s = cosi) 

 un complesso r lineare tangente al complesso dato C lungo una certa retta r. 

 Ivi sarà non solo Saa: = (che è soltanto un modo conciso di scrivere la 

 equazione del complesso T), ma anche Sa'v=0. Il complesso r taglia 

 il complesso dato C in altre rette intinitamente vicine alla r, determinate 



(') Per riconoscere che le (19) sono risolubili nella retta generica W;= si può 

 p. es. ridurre per Ui — Ui° le <jp , % ad una qualche forma canonica. Sole coniche C : , Cy 

 hanno un soh> punto comune, p. es. il punto du 1 = du ì = 0, ridotta la q> alla forma 

 du\-\-2 du t du a , la / sarebbe del tipo p(du\ -\- 2du t du s ) -f- n du\ ; ove, per (18). §==.0; 

 e saremmo nel caso anormale. Se le due coniche hanno comune anche il punto du„ = 

 = du a = 0, la x sa, 'à del tipo adul-\- 2 yS dui du 3 -t- 2y dui du B -\- 2\ du» du., . Se il punto 



diti — àua = è punto di contatto, la retta (/ — ycp) = , cioè (« — y) du s + 2/3 dv, + 



-j-2A dv 3 = dovrà passare per esso; e quindi Jl = 0. Poiché per (18) a-j-2y == 

 (mentre ne siamo nel caso anormale, nè le due coniche sono bitàngenti) è « =J= . /9 4= 0. 

 Si riconosce facilmente che in tal caso le (19) sono risolubili; ci" che avviene anche 

 se C(j, , hanno quattro intersezioni distinte; come si vede, osservando che in lai caso 

 si può supporre (per m— ih") q> — du\ -\- du\ -\- du\ ; \p = a du\ -\- § du% -\- y dui coji 

 a =j= p 4= y 4= <f . 



