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dalla S2a x rs du r du s = , cioè <pS«X-{-%S«£ = 0. Pensate le u come 

 coordinate di punto in uno spazio a a tre dimensioni, questa equazione de- 

 termina un fascio di coni quadrici col vertice nel punto immagine di r. 

 Ognuno di questi coni corrisponde a un complesso lineare r tangente a C 

 in r, e viceversa. Il complesso f è geometricamente il complesso cui cor- 

 risponde un cono quadrico % = apolare o coniugalo al cono (p = , pen- 

 sato come inviluppo. TI sistema lineare di complessi definito dai com- 

 plessi x . x r , X è il sistema dei complessi in involuzione col complesso £. 



Vogliamo ora occuparci dell'applicabilità proiettiva di due complessi, 

 che noi definiremo in modo analogo a quello usato per le superficie e iper- 

 superficie nella mia Memoria citata al ^ 1 di questa Nota. 



Se abbiamo un altro complesso C° , luogo della retta x° , y° fun- 

 zioni degli stessi parametri u r , cioè in corrispondenza biunivoca con C, i 

 due complessi saranno in una coppia di rette omologe r , r° proiettivamente 

 applicabili se potremo trasformare con opportuna collineazione uno di essi 

 in guisa che lungo le r , r° valgano le 



con opportuni valori delle q,m,fi,h. Se ne deduce tosto che lungo le 

 rette r , r° le forme g> , (p a dei due complessi sono proporzionali. Supposto 

 che questa condizione sia soddisfatta per tutti i valori u (cosicché, mol- 

 tiplicando le x° per un conveniente fattore, si possa supporre identica- 

 mente g> = g>°), condizione necessaria e su /fidente affinchè . C° siano pro- 

 iettivamente applicabili in due rette omologhe r . r° è che le due forme 

 X , x° siano ivi uguali. 



Infatti, essendo g> — (p°~ identicamente, le (22) diventano in coordinate 

 covarianti 



(22) 6is x = x° , x s = 4 -f- m s x ; x fj = 4- fu x) -f- x\ -f hj ? . 



Basta ricordare il valore (16)m s di % per riconoscere che x — x"- 



Viceversa, se ideuticamente <p — <p 9 . e se nelle rette r . r° è x~X°^ 

 noi potremo trasformare C° con una tale collineazione che per la retta con- 

 siderata sia x — x 9 . x r = x 9 , f = £° , perchè le espressioni Sa- 3 , Sx r x s , 

 SI* , Ss x , &£xr , Sx£ hanno valori uguali per i due complessi; il com- 

 plesso X° apparterrà al fascio dei due complessi X , x . Scrivendo le (16) 

 per i due complessi, si riconosce che nelle rette r , r° valgono le (22), n - s 

 con q ~ 1 , m r = n r = . c. d. d. 



Le forme y> , x costituiscono insieme V elemento lineare proiettivo del 

 complesso, il problema della deformazione proiettiva di un complesso, cioè 

 di determinare le forme ip compatibili con le g> , x si riduce allo studio 

 delle condizioni di integrabilità delle (16) , (19). 



Studieremo dapprima il caso che x sia identicamente nullo. 

 Kendiconti. 1918, Voi. XXVII, 2° Sem. -11 



(22) 



X — (J.r° ; x s = Q (x° s -f- m s x°) ; 



